Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1448


1.3.5. частично упругий удар шаров, движущихся навстречу друг другу

 

 

 
Определить скорости центров масс двух шаров m1 = 12 кг и m2 =10 кг  в конце частично упругого удара (рис. 3.6), если их скорости в начале удара были равны соответственно: υ1  =

10 м/сек и υ2 = 6 м/сек. Шары двигались навстречу друг другу. Коэффициент восста- новления k при ударе равен 0,8.

Решение. Ось n направлена вдоль линии центров направо. Проекции скоростей на ось n центров тяжести в начале удара будут: υ1n  = 10 м/сек, υ2n = 6 м/сек.

Рис. 3.6. Схема частично упругого

удара шаров, движущихся навстречу друг другу

Проекция общей скорости на ось n в случае неупругого удара равна

n

 
u   m11n   m22 n

m1  m2

 12 10  10  6  2,73 м/сек.

12  10

 

Проекции искомых скоростей центров тяжести шаров на ось n в конце упругого удара определяются формулами:

 

u1n   un   k (un   1n )  2,73  0,8(2,73  10)  3,07

 

u2 n   un   k (un   2 n )  2,73  0,8(2,73  6)  9,65

 

м/сек.

 

м/сек.

Знаки u1n и u2n указывают, что после удара шары будут двигаться в разные стороны, т. е.

первый шар налево, а второй, шар направо.

 

Рис. 3.7. Схема падения шара на плиту

1.3.6. Частично упругий удар шарика,

падающего на неподвижную горизонтальную плиту

 

С какой высоты h1 падает шарик на неподвижную горизонтальную плиту (рис. 3.7),

если после частично упругого удара он поднимается на высоту h2 = 81 см. Коэффициент восстановления равен 0,9.

Решение. Ось n направим по вертикали вниз. Скорость центра тяжести шарика в начале удара обозначим υ1. Скорость неподвижной плоскости равна нулю: υ2  = 0. Масса ее m2 бесконечно велика, т. е. m2= ∞.

Проекция общей скорости u на ось n в случае неупругого удара равна

m1     

m       m 

m         1n        2 n

u     1  1n       2   2 n      2    0.

n          m  m     m

1          2          1   1

m2

 

Проекция скорости центра тяжести шарика на ось n в конце удара равна

u1n   un   k (un   1n ) .

Так как u2 = 0, то  u1n = – kυ1n.

Знак минус указывает, что скорость шарика в конце удара направлена  вверх. Зависи-

мость между модулями скоростей центра тяжести шарика в конце удара имеет вид

u1 = kυ1.         (3.3)

Так как шарик, падая, совершал свободное падение, то

1 

2gh1 .

 

(3.4)

После частично упругого удара шарик начинает подъем вверх со скоростью u1.

В наивысшей точке подъема h2 скорость шарика равна нулю. Следовательно,

u1  

2gh2 .

 

(3.5)

После подстановки значений v1  и u1  из формул (3.3) и (3.4) в формулу (3.5) находим:

 

 

откуда

h2   k            h1 ,      (3.6)

 

h1

 

Формула (3.6), записанная в виде

 h2

h1

  81

0, 92

 

 

= 1 м.

 

k       h2

h1

 

 

,           (3.7)

дает  возможность  экспериментально  определить  коэффициент  восстановления  при частично упругом ударе.

В случае неупругого удара шарик от плиты не отскакивает, т. е. (3.7) получим, что k  0 .

h2   0 . Из формулы

В случае упругого удара шарик должен отскочить в исходное положение, т. е.

Из формулы (3.7) получим, что k  1.

При частично упругом ударе h2   h1  и, следовательно, 0  k  1.