Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1416


1.3.1. явление удара

 

Вопросы:

1. Явление удара.

2. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе.

3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

 

Явление удара. Ударная сила и ударный импульс

Движение твердого тела, происходящее под действием обычных сил, характеризуется непрерывным изменением модулей и направлений скоростей его точек. Однако встречаются случаи, когда скорости точек тела, а следовательно, и количество движения твердого тела за ничтожно малый промежуток времени получают конечные изменения.

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Этот промежуток времени называется временем удара.

При ударе тела о неподвижную поверхность или при соударении двух движущихся тел

имеет место процесс деформации тел вблизи точки их соприкосновения. Примерами этого явления могут служить удар мяча о стену, удар кия о бильярдный шар, удар молота о болванку, лежащую на наковальне, и ряд других случаев.

При ударе в течение бесконечно малого промежутка времени действует ударная сила. Ударной силой называется сила, импульс которой за время удара является конечной величиной. Модуль ударной силы может в тысячи и даже в десятки тысяч раз превосходить конечные по модулю силы, например силы тяжести, силы сопротивления воздуха или воды, силы трения. Импульсы конечных по модулю сил за бесконечно малое время удара будут бесконечно малы, и ими при изучении удара пренебрегают.

Напомним,  что  если  конечная  по  модулю  сила  F  действует  в  течение  времени   ,

начиная свое действие в момент времени t, то ее импульс имеет вид

 

t 

S   Fdt.

t

 

Ударный импульс – это  импульс, который вводится при изменении скоростей точек тела за время , когда вместо самой ударной силы  вводится ее импульс. Для определения ударного импульса S совершаем в соответствии со сказанным выше предельный переход, устремляя F к бесконечности и   – к нулю, т. е.

 

t 

S =             ò

 
lim

 0

t

 

 

Fdt.

F 

 

Здесь предполагается, что бесконечно большая ударная сила действует бесконечно малый промежуток времени; при этом считается, что ударный импульс S имеет конечное значение.

Также при действии ударной силы на материальную точку можно сказать, что:

  действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь;

  перемещение материальной точки за время удара можно не учитывать;

  результат действия ударной силы на материальную точку выражается в конечном изменении за время удара вектора ее скорости.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе

Количеством движения механической системы называется вектор, равный гео- метрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.

Применяя  при  ударе  теорему  об  изменении  количества  движения  в  интегральной

форме, следует учитывать только импульс ударных сил. Теорему об изменении количества движения часто называют для краткости теоремой импульсов, которая является основой при изучении удара:

K  K 0

 

i

 
  S E  ,        (3.1)

 

где K – количество движения механической системы в момент окончания действия ударных

сил,  K0

– количество движения механической системы в момент начала действия ударных

i

 
сил, S E

– внешний ударный импульс.

Она формулируется так: изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

Векторному уравнению (3.1) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

E

 
K x   K x 0    Six ; 

E

K y   K y 0    Siy ;

E   

K z   K z 0    Siz . 

 

Эти уравнения показывают, что изменение проекции количества движения системы на любую ось равно сумме проекций на ту же ось всех внешних ударных импульсов, приложенных к системе.

Также можно отметить, что при отсутствии   внешних ударных импульсов и при действии на механическую систему лишь внутренних ударных импульсов количество движения системы не изменяется, т. е.:

 

 

где U c

 

и Vc

E

 
K  K0 ,  Si

 

– скорости центра масс системы.

,U c   Vc  ,

Таким образом, удары, возникающие при столкновении тел, входящих в одну механическую систему,  не могут  вызвать  изменения количества  движения  системы,  т. е. скорости движения ее центра масс.

 

Теорема об изменении кинетического движения механической системы при ударе

Кинетическим моментом (или главным моментом количеств движения механической системы относительно центра (оси)) называют вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно центра (оси).

Уравнение

 

dL0       E       E

dt    M i 0   M 0  ,

(3.2)

 

где

L0   – начальный кинетический момент движения механической системы относительно

центра;

i 0

 
 M E  – геометрическая сумма моментов всех внешних сил относительно того же центра.

 

Геометрическая сумма моментов всех внешних сил выражает теорему об изменении кинетического момента движения механической системы: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Векторному   равенству   (3.2)   соответствуют   три   равенства   в   проекциях   на   оси координат:

dLx   

 

         

M E   M E ,

dLy   

 

         

M E   M E ,

dLz   

 

         

M E   M E .

dt                  ix          x

dt                  iy          y

dt                  iz          z

 

Уравнения показывают, что производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна главному моменту внешних сил относительно этой оси.

 

Следствия из теоремы:

если  главный  момент  внешних  сил  относительно  некоторого  неподвижного  центра

остается   все   время   равным   нулю,   то   кинетический   момент   механической   системы

относительно этого центра остается постоянным.           

 

0

 
Из уравнения (3.2) следует, что если M E

 

= 0, то

dL0

dt

 

= 0 и dL0

 

= const.

Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси остается все время равным  нулю,  то  кинетический  момент  механической  системы  относительно  этой  оси

остается неизменным.

x

 
Если, например,  M  E

 

 

= 0, то

 

 d L x  

dt

 

 

= 0 и

 

 

L x       = const.

Следствия из теоремы об изменении кинетического момента движения механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.