Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1448


1.2.5. вариационные интегральные принципы классической механики

 

Общие понятия

Вариационными принципами классической механики называют общие закономерности механического движения, позволяющие из совокупности кинематически возможных движений механической системы, т. е. движений, допускаемых наложенными на систему связями, выделить действительное движение, которое она будет совершать в заданном силовом поле.

Вариационные принципы разделяются на дифференциальные и интегральные. Дифференциальные вариационные принципы дают критерий истинного движения, отнесенный к некоторому моменту времени, а интегральные – к конечному интервалу времени.

 

Важнейшим и наиболее общим дифференциальным вариационным принципом классической механики является принцип возможных перемещений.

Важнейшими интегральными принципами классической механики являются принцип

Гамильтона–Остроградского и принцип стационарного действия Мопертюи–Лагранжа.

Положение голономной механической системы с s степенями свободы относительно системы отсчета определяется обобщенными координатами (q1, q2, …, qs), которые при движении механической системы изменяются, являясь функциями времени t.

Совокупность  обобщенных  координат  механической  системы  (q1,  q2,  …,  qs)  для каждого момента времени можно рассматривать как координаты точки в пространстве s измерений.  Тогда  каждой  конфигурации  механической  системы,  т. е.  ее  положению  в

пространстве,            будет   соответствовать        определенная точка   в          s-мерном        пространстве.

Условимся называть s-мерное пространство пространством конфигураций.

С течением времени положение системы в пространстве изменяется, и точка, изобра- жающая   эту   систему,   описывает   в   пространстве   конфигураций   некоторую   кривую. Условимся называть эту кривую траекторией движения системы. Движение изобра- жающей точки вдоль этой траектории отображает действительное движение системы в пространстве.

Очевидно, что каждой точке такой траектории в пространстве конфигураций соответствует определенное положение механической системы в реальном евклидовом пространстве.

Отбор  действительного  движения  механической  системы  из  совокупности  ее возможных движений можно осуществить с помощью анализа ее движения в пространстве конфигураций на основе интегральных вариационных принципов, изложенных ниже.

 

Дифференцирование и варьирование в механике

Предположим, что механическая система имеет одну степень свободы и ее положение определяется обобщенной координатой q = f(t).

Дифференцируем это равенство по времени: dq 

f (t )dt .

Дифференциал обобщенной координаты dq соответствует ее изменению вследствие изменения времени, т. е. вследствие действительного движения системы.

Геометрически dq есть отрезок a1b1  (рис. 2.24), но с точностью до бесконечно малых высшего   порядка   dq   равен   отрезку   a1c1.   Дадим   функции   q = f(t)   при   заданном зафиксированном значении аргумента t произвольное приращение δq:

q   (t) ,

 

где  ε  –  произвольно  малое  постоянное  число,  а  φ(t)  –  произвольная  дифференцируемая функция времени.

Рис. 2.24         Рис. 2.25

 

Получим семейство новых функций времени:

q~ 

 

f (t )   (t ) .

 

Графически одна из функций  q~  представлена новой кривой, бесконечно близкой к кривой функции q (рис. 2.25).

Произвольное изменение функции δq, являющееся следствием не изменения аргумента,

а изменения вида самой функции, называется синхронной вариацией функции:

q  q~  q   (t ) .

 

Вариация функции δq в момент t (рис. 2.25) соответствует отрезку ае.

Рассмотренная операция варьирования функции называется синхронным варьированием.

Сопоставляя операции дифференцирования и варьирования функции, устанавливаем, что дифференциал dq является изменением ординаты q вдоль кривой q = f(t), а вариация функции δq определяет изменение q при фиксированном t, связанное с переходом от данной кривой к другой, смежной с ней кривой q = f(t) + εφ(t).

Операции дифференцирования и варьирования, являющиеся независимыми друг от друга операциями, обладают свойством коммутативности в последовательности их применения.

Укажем также, что вариация определенного интеграла с постоянными пределами интегрирования равна определенному интегралу от вариации подынтегральной функции:

 

t1         t1

 

t1         t1

   dt

  (   )dt    dt

   dt .

t 0        t 0

t 0        t 0

 

t1

Таким образом,    dt

t 0

t1

   dt .

t 0

 

Основываясь на том, что операции синхронного варьирования и дифференцирования по времени являются независимыми друг от друга операциями и обладают свойствами коммутативности в последовательности их применения, а также используя интегрирование по частям, рассмотрим следующее преобразование, встречающееся в дальнейшем:

 

t 2

q   q

 

t 2

dt      q

 

d  ( q

 

 

) dt

 

 

 [ q   q

 

t 2

] t 2     

 

d ( q

 

 

) q

 

 

dt  

         j           j

t1

         j   dt     j

t

 
1

 

j           j    t1

 

t 2

 dt     j           j

t

 
1

 q j (t 2 ) q j (t 2 )  q j (t1 ) q j (t1 )   q j  q j dt .

t1

При q j t1   q j t2   0

 

имеем

 

t 2

 q

t1

 

j  q j dt

t 2

    q j  q j dt  .

t1

 

Рассмотрим теперь полную вариацию функции q(t).

Полной, или асинхронной, вариацией называют изменение функции, вызванное как изменением вида функции, так и изменением аргумента.

Примем  изменение  аргумента  t  равным  Δt,  где  Δt  –  функция  с  не  равной  нулю производной по времени. Тогда измененный аргумент

~t   t  t .

 

Определим полную вариацию функции Δq:

q  q~(t  t)  q(t )  [q~(t  t )  q(t  t )]  [q(t  t )  q(t)] .

Так как при t q~(t  t )  q(t  t)  q , a q(t  t )  q(t )  qt , то q  q  qt .

 

На рис. 2.25 полная вариация изображена отрезком а1е1:

 

a1e  a1c1  c1e1 ,

 

где a1e1   q , a1c1   qt , c1e1   q ,

т. е. q  qt  q .

Из равенства видно, что изменение функции Δq состоит из двух частей:

1. синхронной вариации δq ,

2.  qt

– изменения функции вследствие изменения аргумента t на величину Δt.

Полная вариация и дифференцирование свойством коммутативности не обладают.

Полная вариация функции q определяется выражением

q  q  q t .

 

Поэтому

dq  q  q dt .

dt         dt

 

Из этого равенства следует, что в общем случае

dq   dq .

dt         dt

Эти  выражения  равны  только  в  том  случае,  если  dΔt/dt = 0,  т. е.  если  вариация синхронная.

Формула для полной вариации от определенного интеграла:

 

t

   dt

0

 

t

  (    

0

 

d ) dt .

dt

 

В приложениях к движению варьирование связано с рассмотрением движения механической системы по кривой, являющейся действительной траекторией механической системы в пространстве конфигураций, и по допустимым кривым или кривым сравнения.

Действительная траектория механической системы в пространстве конфигураций соответствует действительному движению механической системы под влиянием прило- женных сил и заданных начальных условий.

Кривая сравнения соответствует движению, бесконечно близкому к действительному,

допускаемому существующими связями.

Определим, например, синхронную вариацию кинетической энергии механической системы  в  некоторый  момент  времени  t  при  перемещении  ее  по  совокупности действительных траекторий ее точек и по кривым сравнения:

 

T  TД   TСР .

 

Кинетическая энергия определяется выражением

 

T  T (q1 , q2 ,..., qs , q1 , q2 ,..., q s , t ),

 

а вариация кинетической энергии найдется по формуле

 

s     T

T       

                                             

q

 
T   

j 1  j

q j  

q j

q j  .

 

При действительном перемещении системы (по совокупности действительных траекторий ее точек) кинетическая энергия за время dt получает приращение dT.

Вариация кинетической энергии в связи с изменением характера движения δТ отличается от dT – изменения кинетической энергии – в связи с изменением времени в действительном движении.

 

Вариационный принцип Гамильтона–Остроградского

Общее уравнение динамики имеет вид

 

n                            

 Pi   mi ai  ri

i 1

 0 ,

или

 

 

n                n                   

 Pi   ri     mi ai   ri   0 .

 

n       

i 1

i 1

Здесь

 Pi   ri   A

i 1

– работа задаваемых сил на возможном перемещении системы, а

ri

 
вектор  возможного  перемещения вектора  .

ri

представляет  собой  синхронную  вариацию  радиус-

Преобразуем скалярное произведение:

                  

d i      

d                   

                  d           

 m i a i   ri     m i

Так как

 ri   

dt                  dt

 

m i i   ri    m i i  

ri  .

dt         

 

 

Поэтому

 

n

d          

 ri

dt

 

d

 
                  n

   d ri

dt

 

  v i .

 

         n                   

i  1

 m

 

i a i

  ri   

dt

i  1

m i i

  ri  

i  1

m i  i

   i  

 

   d dt

 

n

i  1

 

(m

 

i i

 

´ d

 

ri

 
   

 

n

i  1

m        2

 
i i

2

 

   d dt

 

n

i  1

 

(m

 

i i

 

´ d

 

ri

 
    T .

 

Таким образом, общему уравнению динамики можно придать вид

 

d          n                   

 T   A 

 m i i    ri  .

dt

 
i 1

 

Ограничим произвольность выбора путей сравнения условием пересечения действительной траектории и кривой сравнения в момент времени t1  и t2, т. е. условием, чтобы при t = t1 и t = t2 (рис. 2.26)

ri           1

 

ri            2

 
  ( t  )

   ( t  )  0 .

 

Кривые сравнения должны выбираться из класса дважды дифференцируемых функций.

Интегрируя в пределах (t1,  t2), получаем криволинейный интеграл:

 

Рис. 2.26

 

t 2        t 2     d n                   

  n     

t  t

2

 
  

  T

t1

  A dt

  dt

t

 
1

i  1

m i i    ri dt

  

 i  1

m i i    ri            

1

 
 t  t

n                            n                   

 

i  1

m i i ( t 2 )   ri ( t 2 )  

i  1

m i i ( t 1 )   ri ( t 1 ).

Так как по условию вариации радиус-вектора ri

на границах равны нулю, то имеем

 

t2

 T  Adt  0.

t1

Это уравнение выражает принцип Гамильтона-Остроградского: действительное движение механической системы с голономными двусторонними идеальными связями отличается от всех иных возможных ее движений тем, что только для действительного движения выполняется предыдущее равенство.

В случае, если раздельно рассматривать работу задаваемых консервативных и неконсервативных сил, уравнение можно представить в следующем виде:

 

t2

 T  AP  AF  dt  0,

t1

 

где   δАР    –   элементарная   работа   консервативных   сил,   а   δАF    –   элементарная   работа неконсервативных сил.

Так как δАР=–δП, имеем

 

 

Учитывая, что

 

t2

ò (                      F )

 
T  П  A   dt  0 .

t1

 

T  П   T  П   L ,

 

где L – функция Лагранжа, выраженная в обобщенных координатах, получаем

 

t2

 (L  A F )dt  0 .

t1

 

Для консервативной системы выражение принципа Гамильтона–Остроградского имеет вид

t2

Ldt  0 .

t1

t2

Введем обозначение  Ldt  S ,

t1

где величина S называется действием по Гамильтону.

Размерность величины S есть работа, умноженная на время (единицы в системе МКС –

кг · м2/с, в технической системе – кгс · м · с).

В общем случае, когда пределы t1 и t2 варьируются, по правилу варьирования интеграла по параметру находим

 

t 2

 S    Ldt

t1

 

t 2

   Ldt

t1

 

 

 L (t 2 ) t 2   L (t1 ) t1 .

 

 

Отсюда

t 2

  Ldt

t1

 

  S

 

 L (t1 ) t1   L (t 2 ) t 2 .

 

 

 S  L (t1 ) t1   L (t 2 ) t 2

t 2

   A F dt

t1

 

 0 .

 

В том случае, если система находится только под действием консервативных сил и при этом  концы  временного  интеграла  t1   и  t2   не  варьируются,  т. е.  δt1   =  δt2   =  0,  уравнение принципа Гамильтона–Остроградского принимает вид

 

S  0 ,

или в развернутой форме

 

t 2

 S    L q1 , q 2 ,..., q s , q1 , q 2 ,..., q s , t dt

t1

 

 

 0 .

 

Поэтому принцип Гамильтона–Остроградского может быть сформулирован еще так: действительное движение консервативной механической системы таково, что вариация интеграла S при фиксированных значениях t1 и t2 равна нулю, или действительное движение консервативной системы в промежутке от t1 до t2 таково, что действие по Гамильтону имеет стационарное значение.

 

 

Равенство

 

S  0

 

t2

S   Ldt.

t1

 

является необходимым условием экстремума действия S. Из этого

следует, что из всех возможных движений изображающей точки от ее положения в момент t1 до ее положения в момент t2  действительным является то движение, при котором интеграл имеет экстремум: максимум или минимум, или стационарное значение, отличное от экстремума.

 

Дифференциальное уравнение кривой, реализующей экстремум заданного криволинейного интеграла

Применение принципа Гамильтона–Остроградского к установлению действительного движения механической системы в промежутке времени от t1  до t2 связано с определением экстремума криволинейного интеграла:

 

t2

S   Ldt .

t1

 

Найдем такую кривую у = у(х), которая на участке криволинейного интеграла:

 

x1   x  x2

 

реализует экстремум

 

x2

J   f  y, y, x dx ,

x1

 

где у' = dy/dx, а переменная х играет роль параметра t.

Для того чтобы использовать обычный аппарат дифференциального исчисления, рассмотрим однопараметрическое семейство кривых у(х), для которых y(x1) = y1  и у(х2) = у2 (рис. 2.27), а их уравнение имеет вид

 

у(х,α) = у(х, 0) + αη(x),

 

 
где η(х) – функция, обращающаяся в нуль при х = х1 и х = х2.

Каждой кривой рассматриваемого семейства соответс-

твует определенное значение параметра α, а значению α = 0 будут соответствовать кривые, реализующие экстремум рассматриваемого интеграла.

Подставив значение у(х, α), получим следующий инте-

грал, являющийся функцией α:

 

x2

J ( )   f yx, , y( x, ), xdx .           Рис. 2.27

x1

Необходимое условие экстремума этого интеграла таково:

 

 J 

                   0.

   0

Производим дифференцирование под знаком интеграла:

 

J        x2  f

  

 

y  f

 

y 

dx.

1

 
      x   y 

y  

 

Второй интеграл правой части можно представить в следующем виде:

 

x2  f

 

y

 

x2  f

 

 2 y

 y  dx   y x dx.

x1        x1

 

Вычислим этот интеграл посредством интегрирования по частям:

 

x2  f

 

 2 y

 

x

 
f  y  2

 

x2   d

 

 f

 

 y

 y x dx  y 

  dx  y   dx.

x1        x1        x1                 

 

Так как все кривые семейства у = у (х, α) проходят через точки (x1, y1) и (х2, у2), то имеем

 y 

 y 

1

 

2

 
                   0 и            

 0.

 

 

Поэтому

   x  x

   x x

J        x2  f

d  f

 y

    y  dx y   dx.

1

 
x       

 

Для  определения  кривой,  реализующей  экстремум  интеграла,  умножим  полученное равенство на dα и положим α = 0:

 

 J 

 

x2  f

 

d  f

 

 y 

       d      

  

 ddx.

   0

x1   y

dx   y   0

 

В этом равенстве содержатся вариации следующих функций:

 

    

 

 y 

   J   d  J ,  

         

d  y,

    0

         0

 

где δy – произвольная вариация функции у(х), получающаяся посредством варьирования произвольного параметра α около значения α = 0.

Подставим обозначения вариаций:

 

x2  f           d

J           

 

f 

ydx  0 .

1

 
x   y

dx y 

 

Так как δу является произвольной функцией х, то равенство может иметь место лишь в том случае, если

 

f  d

 

f   0.

y       dx y

Из этого следует, что экстремум интеграла будет только для таких кривых у(х), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению, называемому уравнением Эйлера (оно было опубликовано впервые в 1744 г.). Уравнение Эйлера при х = t и f = L совпадает с уравнением Лагранжа второго рода для консервативной системы с одной степенью свободы.

Интегральные  кривые  уравнения  Эйлера  у = у(х,  С1,  С2)  называются  экстремалями.

Только на экстремалях может достигаться экстремум интеграла.

 

x2

J   f  y, y, xdx.

x1

 

Постоянные, входящие в общее решение дифференциального уравнения, определяются из условий на концах

 

y( x1 )  y1 ,

 

y( x2 )  y2 .

 

Вывод уравнения Лагранжа второго рода из принципа Гамильтона–Остроградского

Уравнения  Лагранжа  второго  рода  могут  быть  получены  из  уравнений  Эйлера  и непосредственно на основе уравнения, выражающего принцип Гамильтона–Остроградского.

 

 

Так как

 

t2

 T  Adt  0, а A  Q1q1  Q2q2  ...  Qsqs ,

t1

 

 

то получаем

t2

 T  Q1q1  Q2q2  ...  Qsqs  dt  0.

t1

 

Вариация   кинетической   энергии   δT   в   каждый   момент   времени   t   определяется выражением:

 

å               j

 
s    T

T       

T             q  

 q

 

q

q  .

j

 

i 1  j           j           

 

Подставим  это  выражение  δT  в  уравнение,  выражающее  принцип  Гамильтона–

Остроградского:

 

t2          T   T       

    q

q j  

q j   Q j q j dt  0.

q

t1   j 1    j           j      

 

Преобразуем члены с интегрированием по частям, учитывая, что

 

 q j    

dq j

dt

d  q j

         :

dt

T

 

d

 
t 2

t 2    T

t 2      T

 q dt  

 

d  q

  T  

j

 
       q  

t 2        

        

è

 

j  ø

 
 q  dt

t

 
  q

1

  q

t

 

j

 
1

  q j

j

1

 
 t

  dt

t

 
1

  q           j           .

 

 

 T

Но   q

 2

t

 
q j 

 

 

= 0, так как на границах интервала интегрирования интеграла δqj= 0.

1

 
      j

 t

Сделаем такое преобразование со всеми членами, содержащими q :

t2     s

 T

d  T         

                                 

    q

dt    q

  Q j q j dt  0.

t1    j 1    j

   j           

Равенство нулю подынтегральной функции должно иметь место при любых значениях вариации δqj, а потому необходимо, чтобы все коэффициенты при этих вариациях были равны нулю, т. е.

 

ç     

 
d  T

         T

 

 

j

 
 Q  j  1,2,..., s .

è

 

j  ø

 
dt  q  

q j

 

Полученные уравнения являются уравнениями Лагранжа второго рода и описывают экстремали для принципа Гамильтона–Остроградского.

 

Вывод канонических уравнений механики из принципа Гамильтона–Остроградского

Функция действия по Гамильтону имеет вид

 

 

Так как функция Гамильтона

 

t2

S   Ldt .

t1