Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1383


1.2.4. функция гамильтона. канонические уравнения механики или уравнения гамильтона

 

Выражение кинетической энергии и кинетического потенциала механической системы в обобщенных координатах

В  случае  голономных  нестационарных  связей  вектор  скорости   i

любой  точки  Mi

механической системы из n материальных точек, имеющей s степеней свободы, определяется

по формуле

 

 

 
s

 i      

i  1

 

 

ri

 q i

 

 

ri

q i        .

 t

 

Кинетическая энергия этой системы определяется по формуле

 

m n

 
n          2          1

2

 

2

 
T       i    i    

 

´

 
n                   

m       .

i 1

         i    i       i

i 1

 

r

 
Для   того   чтобы   выразить   кинетическую   энергию   в   обобщенных   координатах, подставим в это равенство значения векторов скорости, обозначив j индекс обобщенной координаты в первом множителе, a k – во втором:

 

 

¶   ö

 

 

å

 

n

 

1

 

=

 

 

r

 

 

ç

 

 
  s      r      s      r

 

j

 
T        mi  

i  q   

i      

i   q   

i   .

2 i 1

 j 1 q j

t 

 k 1 qk

t 

k

 
Перемножая и учитывая независимость суммирования по индексам i, j и k, находим

 

s           s     n

           

 

s     n

          

n                   

i

 
T  1    m

ri

 ri

  q  q

    m

r   ri    q

 1  m

ri   ri   .

2

 

j 1  k 1  i 1

q j     k  

j    k     

j 1  i 1

q j     

2 i 1

i   t    t

 

q

 

t

 

 

ø

 

i

 

 

ø

 

j

 
Введем обозначения:

 

 

 

 
         

n          r           r

a            m

            i        i   ,

 

 

где

jk

j

 
i 1

i  q

qk

 

         

 

 

Тогда

 

a jk

 

 akj ,

 

b j  

n

 mi

i 1

ri

q j

 ri  .

t

 

         

1  s       s

2

 
T          a  q q

s           1  n

2

 

t

 

t

 
b q       m

ri

ri

 

Обозначим

         

j 1 k 1

 

1  s       s

jk  j  k   

j 1

 

s

j  j  

         i                    .

i 1

 

 

 

r

 

r

 
1  n               

2

 
T2      a jk q j q k , T1    bi q j  ,

T        m

i        i  .

 

 
t           t

j 1 k 1

j 1

0          i

2

 
i 1

Кинетическую  энергию  механической  системы  можно  представить  как  сумму  трех слагаемых:

 

Т = Т2 + Т1 + T0.

 

Эти     слагаемые       являются        однородными            функциями     обобщенных   скоростей       со степенями однородности, равными соответственно двум, единице и нулю.

В  случае  стационарных  связей  величины  T1   и  Т0,  очевидно,  будут  равны  нулю  и кинетическая энергия системы Т = Т2:

1  s       s

 

 

где аjk не зависит явно от времени.

T        a jk q j q k ,

2

 
j 1 k 1

Это  выражение  показывает,  что  кинетическая  энергия  механической  системы  со

стационарными связями является квадратичной формой обобщенных скоростей. Так как кинетическая энергия механической системы всегда положительна, то эта форма положительно-определенная.

Кинетический           потенциал      рассматриваемой      механической            системы          определяется следующим выражением:

 

 

где

 

Поэтому

 

L = T – П = T2 + T1 + T0 – П,

 

П = П(q1, q2, …, qs, t).

 

s           s           s

n                   

L          1          a

 

q  q

 

b  q

1          m  ri   r i

 П q , q

 

,..., q

, t  .

           jk

2 j 1 k 1

j    k    j

j 1

j           

2 i 1

i   t    t

1          2          s

 

В случае стационарных связей

 

1  s       s

L        a jk q j q k   П q1 , q2 ,..., qs .

2 j 1 k 1

 

Канонические переменные

В том случае, если голономная система имеет s степеней свободы и на нее действуют консервативные силы, уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок относительно обобщенных координат:

 

         

d  L  

j

 
dt  q  

L

q j

 

 0;

 

j  (1, 2, ..., s),

 

 

где

L  Lq1 , q2 ,..., qs , q1 , q 2 ,..., q s , t 

 

–  функция  Лагранжа  (или  кинетический  потенциал),

зависящая от обобщенных координат qj, обобщенных скоростей

времени t.

q j

и в общем случае от

Рассмотрим метод, предложенный Гамильтоном, позволяющий s уравнений Лагранжа преобразовать в систему 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями Гамильтона.

Для   приведения   системы   к   каноническому   виду   вместо   переменных   qj    и

q j

(обобщенных координат и обобщенных скоростей) введем новые переменные – обобщенные

j

 
 L

координаты qj и обобщенные импульсы pj, где

p j   q         .

Переменные qj и pj называются каноническими переменными.

Они  образуют  2s-мерное  фазовое  пространство.  Так  как  кинетический  потенциал

механической  системы  с  s  степенями  свободы  с  голономными  связями  определяется выражением:

 

1  s       s

L          a

 

 

q  q

 

s

b  q

 

n

 
1          m         ri

 
ri   П q , q

 

 

,..., q

 

 

, t  ,

           jk

2 j 1 k 1

j    k    j

j 1

j           

2 i 1

i   t  t

1          2          s

 

то обобщенные импульсы р1, р2, ..., ps определяются следующими формулами:

 

s

p j    a jk q k   b j ;

k 1

 

j  (1, 2, ..., s).

 

Уравнения  Лагранжа  с  помощью  обобщенных  импульсов  можно  представить  в следующем виде:

dp j

dt

  L .

q j

 

Так как уравнения линейны относительно обобщенных скоростей и определитель этой системы уравнений |аjk| отличен от нуля, то система s уравнений может быть разрешена относительно qk .

Если   бы   определитель   этой   системы   уравнений   был   равен   нулю,   то   система однородных линейных уравнений

 

L

q j

 

s

  a

k 1

 

 

jk q k

 

 0;

 

j  (1, 2, ..., s)

 

удовлетворялась  бы  при  значениях

qk ,  отличных  от  нуля,  и,  следовательно,  согласно

теореме Эйлера об однородных функциях, было бы

 

å ¶q

 
s           L

q j

j 1     j

 

 

 2L  0 ,

т. е. функция L была бы равна нулю при значениях q j , отличных oт нуля, что невозможно.

Разрешая систему уравнений относительно qk , находим

 

q k   

f q1 , q2 ,..., qs , p1 , p2 ,..., ps , t  j  (1, 2, ..., s).

 

Кинетический  потенциал  механической  системы  является  функцией  обобщенных

координат qj, обобщенных скоростей  q j

и времени t:

 

L  Lq1 , q2 ,..., qs , q1 , q 2 ,...q s , t  .

 

Выразим кинетический потенциал механической системы в канонических переменных:

L  Lq1 , q2 ,..., qs , p1 , p2 ,..., ps , t .

 

 

 

Функция

Функция Гамильтона. Свойства функции Гамильтона

s

H  

 L

 

q j

  L  const

ç

 

q

 
         

j 1  j           

 

называется функцией Гамильтона. Функцию Гамильтона можно выразить также и в канонических   переменных.   Введем   в   выражение   этой   функции   вместо   обобщенных координат и скоростей канонические переменные qj, и pj. Получим выражение функции Н в канонических переменных:

 

 

Свойства функции Гамильтона:

s

H   p j q j   L .

j 1

1. Полная производная по времени от функции Гамильтона равна частной производной от той же функции по времени:

 

dH  H .

dt         t

 

Если наложенные на систему связи не зависят явно от времени, то функция Гамильтона Н

также не будет зависеть от времени и, следовательно,

 

 

В этом случае

 

H

t

 

dH  0 , откуда H = const.

dt

 

 0 .

2. В случае  стационарных  связей  функция  Гамильтона  равна  полной  механической энергии системы:

s

H   p j q j   L  2T  T  П   T  П .

j 1

 

Канонические уравнения механики для консервативной системы

и для неконсервативной системы. Примеры составления канонических уравнений механики

 

Уравнения:

 

dq j

dt

 

 H ;

p j

 

dp j

dt

 

  H

q j

 

(j = 1, 2, …, s)

 

 

называются каноническими уравнениями механики, или уравнениями Гамильтона для консервативной            системы.     Уравнения     Гамильтона     представляют     собой     систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Интегрирование этих уравнений дает 2s величин q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps в функции времени t и 2s произвольных постоянных.

В том случае, если на механическую систему  действуют как консервативные силы

Q

 

j

 
P    П

q  , так и неконсервативные Q F

, получим следующую систему уравнений:

 

j                                                                                                   j

 
dq j

dt

 H ;

p j

dp j

dt

  H

q j

 

j

 
 Q F

 

j  (1, 2, ..., s).

 

Данные уравнения представляют собой канонические уравнения механики для неконсервативной системы. Очевидно, что канонические уравнения механики, полученные из уравнений Лагранжа второго рода, применимы только к голономным системам.

Пример 1. Свободная материальная точка массой m движется в потенциальном поле. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения этой точки, если силовая функция поля равна U (х, у, z).

Решение.  Свободная  материальная  точка  имеет  три  степени  свободы.  Примем  за обобщенные координаты точки три ее декартовы координаты: х, у, z.

Каноническая энергия точки определится выражением

 

T  1 mx 2  y 2  z 2 ,

2

а силовая функция

 

U = U(x, у, z) = –П.

 

Функция Лагранжа имеет следующий вид:

 

L  T  U  1 mx 2  y 2  z 2  U x, y, z  .

2

 

Найдем обобщенные импульсы:

 

 

Отсюда

 

p   L  mx ,

1          x

 

p   L  my ,

2          y

 

p   L  mz .

3          z

x  p1   m ,

y  p2    m ,

z  p3    m .

 

Выражаем функцию Гамильтона в канонических переменных:

 

H  T  U  1 mp 2  p 2  p 2  U x, y, z  .

2          1          2          3

 

Канонические уравнения движения точки имеют следующий вид:

 

dx  H

 

 p1  ,

 

dp1

 

  H

 

 U ,

dt         p1     m

dt         x       x

dy  H

 p2  ,

dp2

  H

 U ,

dt         p2     m

dt         y       y

 

dz  H

p3

=

 
,

dp3

  H

 U .

dt         p3     m

dt         z        z

 

Дифференциальные  уравнения  движения  материальной  точки  в  декартовых координатах получаются из этих уравнений следующим путем. Из первых трех уравнений имеем

p   m dx ,

p   m dy ,

p   m dz .

1          dt

2          dt

3          dt

 

Подставим эти значения p1, p2, p3 в три последних уравнения:

 

2

 
m d  x  U , m d

 

2

 
y  U , m d

 

2

 
z  U .

dt 2      x

dt 2      y

dt 2      z

 

Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах в консервативном поле.

Пример  2.  Горизонтальный  диск  вращается  вокруг  вертикальной  оси,  проходящей через  центр  диска.  Вдоль  желоба,  ось  которого  совпадает  с  диаметром  диска,  движется шарик массой m. К шарику приложена сила, направленная вдоль желоба и являющаяся функцией расстояния r от шарика до оси вращения (рис. 2.23).

Определить функцию Гамильтона и составить кано- нические уравнения движения шарика, рассматривая его как материальную точку.

Решение.  Рассматриваемая  механическая  система  имеет

две степени свободы. Выберем за обобщенные координаты системы угол поворота диска φ и расстояние шарика от оси вращения r. Положим, что момент инерции диска относительно оси вращения равен Jcz, а силовая функция – U(r).

Кинетическая энергия рассматриваемой системы опреде-

ляется как сумма кинетических энергий диска и материальной точки:

 

 

Рис. 2.23

 

T  1 J

 

 2  1 mv2 .

2   cz    2

 

Так   как   составляющие   скорости   точки,   выраженные   в   полярных   координатах,

определяются по формулам

 

vr   r

и v

 r , то v 

r 2

 r 2 2  .

 

Поэтому T  1 J

 2  1 mr2   r 2 2 , или T

 1 m r 2   J

 mr 2  2 .

2   cz    2

2          cz

 

Находим выражение функции Лагранжа:

 

L  T  U  1 mr2   J

2          cz

 

Вычислим обобщенные импульсы:

 

 mr 2  2  U r  .

 

p   L  mr ,

r           r

 

p    L  J

               cz

 

 mr 2  .

Отсюда r  pr

m

 

и  

 

 

J cz

p       .

 mr 2

 

 

Подставим в функцию Гамильтона Н канонические переменные:

 

         2          2          

H  T  U  1  pr

è

 
2  m

p