Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1443


1.2.1. принцип возможных перемещений

 

Вопросы:

1. Связи и их уравнения.

2. Классификация связей.

3. Виртуальные перемещения системы.

4. Число степеней свободы.

5. Идеальные связи.

6. Принцип возможных перемещений (ПВП).

7. Применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей.

 

Обобщенные координаты и число степеней свободы

Перемещения точек несвободной механической системы не могут быть совершенно произвольными, так как они ограничены имеющимися связями. Это означает, что не все координаты точек независимы.

При     таком  условии          положение     точек   системы          определяется  заданием        только

независимых координат. Остальные координаты определяются из уравнений связей.

Независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек  механической  системы,  называются  обобщенными  координатами  этой  системы. Для голономных систем число независимых обобщенных координат механической системы равно числу степеней свободы этой системы.

Так,   например,   положение   рычага   АВ   с   осью   вращения   О   (рис. 2.1)   вполне определяется заданием его угла поворота φ. Угол φ можно рассматривать как обобщенную координату рычага.

Так как положение рычага определяется одной обобщенной координатой, то рычаг имеет одну степень свободы.

 

 
Положение   всех   точек   кривошипного   механизма   (рис. 2.2)   вполне   определяется заданием только угла поворота кривошипа φ. Этот угол можно принять за обобщенную, координату этой системы, имеющую также одну степень свободы.

 

 

 

 

 

Рис. 2.3

Рис. 2.1           Рис. 2.2

 

Положение   всех   точек   центробежного   регулятора   (рис. 2.3), вращающегося вокруг вертикальной оси, определяется заданием угла поворота регулятора φ и угла α, образованного каждым из стержней с вертикалью. Независящие друг от друга точки можно считать обобщен- ными координатами.

Так как положение регулятора определяется двумя обобщенными координатами, то он имеет две степени свободы.

Положение свободной материальной точки в пространстве определяется тремя декартовыми координатами, не зависимыми друг от друга.

Поэтому  свободная  материальная  точка  имеет  три  степени свободы. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет

одну степень свободы, так как его положение определяется только углом поворота φ.

Тело, совершающее сферическое движение, имеет три степени, так как его положение определяется тремя эйлеровыми углами ψ, θ, φ.

Свободное твердое тело, движение которого определяется шестью уравнениями, имеет шесть степеней свободы. Механическая система, положение которой определяют s обобщенных координат, имеет s степеней свободы.

Декартовы координаты любой точки Mi механической системы являются функциями обобщенных  координат  этой  системы.  Так,  например,  зная  длину  кривошипа  r  и  длину шатуна l кривошипно-шатунного механизма, можно выразить декартову координату ползуна В через обобщенную координату φ (рис. 2.4):

 

XB = OK + KB

или

 

 

X B   r  cos  

 

 

l 2   r 2 sin 2  .

 

Таким же образом можно определить координату любой точки этого механизма.

 

 
Обозначим  обобщенные  координаты  механической  системы,  имеющей  s  степеней свободы, через q1, q2, …, qS.

Декартовы координаты любой точки Mi этой системы

при      стационарных            связях  являются        функциями     s

обобщенных координат:

xi   xi q1 , q2 ,..., qs , t , 

i              i        1         2                 s             ý.

 
y   y q , q ,..., q , t ,

z   z q1 , q2 ,..., q , t  

i           i           s           

Рис.  2.4

 

Возможные (виртуальные) перемещения механической системы.

Идеальные связи

Возможными, или виртуальными, перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

Возможные перемещения точек механической системы рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости.

 

 
Поэтому криволинейные перемещения точек заменяют

прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к траекториям точек, и обозначают δS. Так, например, возможным перемещением рычага АВ является его поворот на  бесконечно  малый  угол  δφ  вокруг  точки  О  (рис. 2.5).

При этом повороте точки А и В должны переместиться по

Рис. 2.5

дугам окружностей АА1 и ВВ1. С точностью до величин первого порядка малости эти перемещения заменяют возможными перемещениями δSA = АА1 и δSB = ВВ1 в виде прямолинейных отрезков, отложенных по касательным к траекториям точек, а по величине равных:

 

δSA = OА·δφ;  δSB = OB·δφ.

 

Возможным перемещением кривошипного механизма является перемещение, соответствующее повороту кривошипа ОА на бесконечно малый угол δφ вокруг оси вала. Действительные перемещения несвободной механической системы, движущейся под действием приложенных к ней сил, входят в число ее возможных перемещений, являясь их частным  случаем.  Однако  это  справедливо  лишь  для  стационарных  связей.  В  случае

нестационарных  связей  действительные  перемещения  системы  не  относятся  к  числу  ее возможных перемещений.

Все  силы,  действующие  на  несвободную  материальную  точку  или  несвободную механическую систему, делят на задаваемые силы и реакции связей.

Задаваемые силы выражают действие на механическую систему тел, вызывающих или стремящихся вызвать определенное ее движение.

Реакции связей выражают действие связей, ограничивающих движение механической системы или препятствующих ему.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек M1, М2, …,

Мn, подчиненную связям; реакции связей обозначим R1, R2, …, Rn.

Дадим системе какое-либо возможное перемещение; возможные перемещения точек

системы обозначим δS1, δS2, …, δSn. Вычислим сумму работ реакций R1, R2, …, Rn  на этих перемещениях.

Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными.

Согласно этому определению для идеальных связей,

 R i  S i   cos R i ,  S i   0 .

 

а

 

б

 

Рис. 2.6

 

 

Рис. 2.7

 

Положим, что тело может скользить между параллельными гладкими  поверхностями  (рис. 2.6, а).  Сообщим  телу  возможное перемещение и вычислим работу реакций связи на этом перемещении.

Считая,  что  давление  тела  передается  на  нижнюю  поверх-

ность, приложим к телу нормальную реакцию этой поверхности N.

Возможное  перемещение  точки  приложения  этой  силы  S

лежит в плоскости, касательной к опорной поверхности.

Работа силы N на перемещении S равна:

 

N δS cos(N, δS) = N δS cos90° = 0.

 

Следовательно, рассматриваемая двусторонняя связь является идеальной, так как условие выполнено.

Положим теперь, что тело может скользить между параллельными шероховатыми поверхностями (рис. 2.6, б).

Тогда реакция плоскости R состоит из нормальной реакции N и силы трения F. Найдем сумму работ этих составляющих реакции на возможном перемещении δS:

 

N N δS cos(N, δS) + F N δS cos(N, δS) = N δS cos90°+ F δS cos180° =

= – F δS ≠ 0.

 

Следовательно, рассматриваемая двусторонняя связь не является идеальной, так как условие не выполнено.

 

Отметим, что, хотя связь, осуществленная с трением, не является идеальной, тем не менее,  такую  связь  можно  условно  рассматривать  как  идеальную.  Для  этого  следует перевести силы трения из группы реакций связей в группу задаваемых сил. Тогда сумма работ реакций (без сил трения) на возможных перемещениях будет равна нулю, т. е. условие будет выполнено.

В некоторых случаях и шероховатая поверхность является идеальной связью. Так, например, если тело катится по неподвижной шероховатой поверхности без скольжения, то линия соприкосновения тел является мгновенной осью вращения (рис. 2.7). Скорости точек

соприкасания тел равны нулю, а потому возможные перемещения этих точек равны нулю. В этом случае S = 0, и работа реакции R, являющейся геометрической суммой нормальной составляющей и силы сцепления на этом перемещении, равна нулю.

Таким образом, шероховатая поверхность, по которой катится без скольжения тело,

также удовлетворяет условию.

Условие, при котором связь является идеальной, относится не только к двусторонним,

но и к односторонним связям.

Однако в последнем случае должны рассматриваться лишь неосвобождающие возможные перемещения, которые оставались бы возможными и в случае, если бы данная связь была двусторонней.

 

Принцип возможных перемещений

Рассмотрим несвободную механическую систему М1, М2, …, Мn, находящуюся в состоянии покоя.

Если система находится в состоянии покоя, то действующие на нее силы взаимно уравновешиваются.

Разделим силы, приложенные к точкам системы, на задаваемые силы и реакции связей.

Обозначим равнодействующие задаваемых сил, приложенных к каждой из точек системы,

P1 , P2 ,..., Pn ,   а   равнодействующие   реакций   связей,   приложенных   к   тем   же   точкам,

R1 , R2 ,..., Rn .

Так как силы, приложенные к каждой из точек системы, взаимно уравновешиваются, то для каждой точки

Pi   Ri   0

(i = 1,2,…,n),

 

откуда

Pi   Ri , т. е. силы

Pi и Ri

равны и направлены по одной прямой в противоположные

стороны.

 

 
Мысленно сообщим рассматриваемой системе, находящейся в состоянии покоя, возможное перемещение из занимаемого ею положения. Обозначим δs1, δs2, …, δsn возможные  перемещения  точек  системы  М1,  М2,  …,  Мn (рис. 2.8).

Вычислим сумму работ сил, приложенных к каждой из точек системы, на возможном перемещении этой точки.

Так как силы

Pi    и  Ri

равны и противоположны по

направлению, то cos (Pi, δsi) = –cos(Ri, δsi), и работы этих сил    на    перемещении    δsi      равны    по    величине,    но противоположны по знаку. Поэтому сумма работ этих сил равна нулю, т. е.

 

Рис. 2.8

 

Pi δsi cos(Pi, δsi)+Ri δsi cos(Ri, δsi)=0 (i = l, 2, ..., n).

 

Будем предполагать, что в рассматриваемой механической системе все связи двусторонние и идеальные, относя силы трения, если они имеются, к задаваемым силам. Тогда сумма работ реакций связей на возможных перемещениях должна быть равна нулю, т. е.

 Ri si cos(Ri ,  si )  0 .

 

При этом условии уравнение примет вид

 

Pi δsi cos(Pi, δsi) = 0.

Уравнение, называемое уравнением работ, выражает одно из важнейших положений механики, называемое принципом возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений формулируется так: если в некотором положении

механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются,  то  на  любом  возможном  перемещении  системы  из  этого  положения сумма работ задаваемых сил равна нулю.

В случае односторонних связей уравнение остается справедливым лишь в случае, когда

возможные перемещения являются неосвобождающими. В общем же случае при односторонних связях

 Pisi cos(Pi , si )  0 .

 

Если  в  каждую  точку  Мi   системы  из  некоторого  центра  О  провести  вектор

 

ri ,  то

возможное перемещение этой точки δs будет соответствующим возможным приращением радиус-вектора точки:

δsi = δri (i = l, 2, ..., n).

 

Тогда уравнение работ примет вид

 Pi   ri   cos( Pi , ri )  0

 

Oбозначим проекции задаваемой силы Pi на неподвижные оси декартовых координат Xi, Yi, Zi, а проекции возможного перемещения δri; на те же оси – δxi, δyi, δit. Пользуясь аналитическим  выражением  элементарной  работы,  представим  уравнение  работ  в следующем виде:

 ( X ixi   Yiyi   Z iZ i )  0 .

 

Принцип возможных перемещений облегчает вывод условий равновесия задаваемых сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел. Это объясняется тем, что уравнение работ, выражающее этот принцип, не содержит реакций связей.   Применение   же   уравнений   равновесия   статики   потребовало   бы   определения большого числа неизвестных реакций связей.

 

 
Если система, состоящая из большого числа тел, имеет одну степень свободы, то одно из равенств устанавливает сразу условие равновесия задаваемых сил, приложенных к системе. Если эта система имеет несколько степеней свободы, то уравнения работ составляются для каждого независимого перемещения системы в отдельности. Таким образом, получается столько условий равновесия системы, сколько степеней свободы она имеет.

 

Применение принципа возможных перемещений к простейшим машинам

Простейшие  машины  являются  системами  с  одной  степенью

свободы. На машины действуют: движущая сила  P , или вращающий момент  Mвр,  и  сила  сопротивления  R ,  или  момент  сопротивления Mсопр (рис. 2.9).

Условие равновесия сил P  и R  имеет вид

                           

P   r p

 R   rR

 0 ,

где

 r p

– возможное приращение радиус-вектора точки приложения

 

Рис. 2.9

силы P , соответствующее ее возможному перемещению;

d

 

rR    – возможное приращение радиус-вектора точки приложения силы

 

R , соответствующее

ее возможному перемещению.

Положим, что возможное перемещение системы из состояния покоя происходит в течение  ничтожно  малого  промежутка  времени  τ.  Тогда  точки  приложения  сил перемещаются со скоростями:

d

 

=

 
         rp

p          

 

и

 

u

 
     rR   .

R          

 

Обозначим проекции сил  P  и  R  на направление соответствующих скоростей Р' и R'.

Тогда

P      R  .

R        p

 

Соотношение можно выразить так: то, что выигрывается в силе, теряется в скорости. Это положение, установленное Галилеем, носит название золотого правила механики. Рассмотрим некоторые простейшие машины.

 

 

 
Полиспасты (рис. 2.10)

Полиспаст состоит из двух систем блоков, каждая из которых помещена в общей обойме. Одна обойма закреплена неподвижно,  а  другая  движется.  Сила  Р,  приложенная  к концу нити, является движущей силой, а вес поднимаемого груза G – силой сопротивления.

 

P  1 G ,

6

 

т. е.  движущая  сила  меньше  веса  поднимаемого  груза  во столько раз, сколько блоков имеет полиспаст.

 

Клиновый пресс (рис. 2.11)

Зависимость между движущей силой Р, приложенной к клину, и силой сопротивления R сжимаемого тела имеет вид:

P  2Rtg .

 

Винтовой пресс (рис. 2.12)

На рисунке изображена схема винтового пресса. Давление пресса на тело возникает под действием пары сил (Р, Р'), приложенной к его рукоятке.

Зависимость  реакции  N  сжимаемого  тела  от  момента приложенной пары сил имеет вид

N  4Pl .

h

 

Сила, сжимающая тело, равна найденной реакции.

 

Стержневой пресс

Соотношение   между   движущимися   силами   Р   и   Р',

приложенными  к  вершинам  А  и  В  ромбического  четырех-

звенника, и силой сопротивления R, приложенной в точке D

Рис. 2.10

 

 

Рис. 2.12

пресса, если

P  P имеет вид

R  P a cos b cos  ,

b sin 

a sin 

 

отсюда получаем зависимость между величинами сил R и Р в виде

R  Pctgctg .

 

Примеры применения принципа возможных перемещений к определению реакций связей

В статике обычно приходится определять реакции связей, действующие на систему, не

обладающую ни одной степенью свободы. Такой системой является каждое сооружение,

несущее нагрузку, так как оно должно быть неизменяемым и

а          б

 

Рис. 2.13

неподвижно прикрепленным к земле. В этом случае принцип освобождаемости от связей используют следующим образом. Отбрасывают ту связь, реакцию которой требуется определить. Действие  связи  заменяют  ее  реакцией,  которая  переходит  в число задаваемых сил. При этом система, освобожденная от одной связи (если она статически определима), получает одну степень свободы. Системе сообщают возможное перемещение, соответствующее этой степени свободы. Составляют уравнение работ,  в  которое  входят  не  только  задаваемые  силы,  но  и реакция отброшенной связи. Из этого уравнения сразу определяют искомую реакцию.

Пример 1. Конструкция, образованная стержнями, соединенными на концах шарнирами, удерживается в указанном на  рисунке  (2.13,  а)  положении  нитью  АВ.  Найти  натяжение нити, вызываемое грузом G, подвешенным в точке D (рис. 2.13).

Решение.  Чтобы  определить  натяжение  нити  АВ,  мысленно  отбросим  эту  связь, заменив ее действие на рассматриваемую систему реакциями Т’ и Т', приложенными в точках А и В. После отбрасывания связи система получит одну степень свободы.

Сообщим   этой   системе   возможное   перемещение,   переместив  точку   D  вниз   по вертикали. Тогда вертикальные диагонали образованных стержнями ромбов удлинятся на одну и ту же величину δs. Возможные перемещения точек А, В, D будут:

 S A    

Составим уравнение работ:

0 ;  S B

  S

;  S D

  4  S .

 T   S B   G  S D   0,

T   G(S D

S B )  4G.

 

Пример  2.  Пользуясь  принципом  возможных  перемещений,  определить  усилия  в стержнях 4, 5, 7 вертикальной фермы, изображенной на рисунке 2.14, а.

 

Рис. 2.14

 

При определении усилий в стержнях фермы с помощью принципа возможных перемещений  все  стержни  фермы  условно  считают  растянутыми,  а  истинный  характер усилия определяют по знаку ответа.

Для определения усилия в каком-либо стержне фермы этот стержень мысленно отбрасывают.  Действие  стержня  заменяют  его  реакциями,  приложенными  к соответствующим узлам фермы и направленными от узлов во внутрь стержня. Эти реакции переходят в группу задаваемых сил, действующих на ферму. После удаления одного стержня ферма получает одну степень свободы. Ферме сообщают возможное перемещение и составляют уравнение работ.

В уравнение работ, кроме задаваемых сил, входит реакция удаленного стержня, приложенная к узлу фермы, который получает возможное перемещение. На рисунке под буквами б, в, г пунктиром показаны части фермы, получившие возможные перемещения после поочередного удаления стержней 4, 5, 7. Неизменяемые части фермы на этих рисунках заштрихованы.

1. После удаления стержня 4 (рис. 2.14, б) часть фермы CDE получает возможность поворачиваться вокруг точки Е. Сообщаем этой части возможное перемещение – поворот на малый угол δφ вокруг точки Е по движению часовой стрелки (можно было бы сообщить поворот и в противоположную сторону). Учитывая, что работа силы при повороте тела равна моменту силы относительно центра вращения, умноженному на угол поворота тела, и положительна, если направление момента совпадает с направлением угла поворота, составим уравнение работ задаваемых сил и силы Т4

P1 a  Q2 b  T4 b  0,

T4   P1a  Q2 b/ b.

 

Знак минус показывает, что стержень 4 сжат.

2. После удаления стержня 5 (рис. 2.14, в) часть фермы KECDF получает одну степень свободы. Параллелограмм KEDF без диагонали EF становится изменяемой фигурой. Сообщаем  части  KECDF  возможное  перемещение  –  изменение  углов  параллелограмма KEDF, т. е. поворот стержней КЕ и FD вокруг неподвижных точек К и F на один и тот же малый угол δφ.

Так как перемещения точек Е и D при этом равны по величине и совпадают по направлению, то треугольник ECD перемещается поступательно.

Следовательно, S E

 S C

 S D

 S .

Составляем уравнение работ задаваемых сил и силы Т5:

 

P1  S C

 

 P2  S E

 

 T 5  S F

 

 0  или

P1 S

 P2  S

 T 5  S

 0 ,

T 5   

 P1   P2 .

 

3.   После   удаления   стержня   7   (рис. 2.14, г)   изменяемой   фигурой   становится параллелограмм KEFL. Сообщаем части фермы KECDFL возможное перемещение, при котором прямоугольник ECDF перемещается поступательно. Составляем уравнение работ задаваемых сил и силы Т7:

 

P1 S C

 

 P2  S E

 

 T 7  S F

 

cos 

 

 0 ,

 

Здесь  S C

  S E

  S F

  S ,

 

 

cos 

b          ,

a 2   b 2

 

 

P1 S

 

 P2  S

 

 T 7  S

b

 

a 2    b 2

 

 0 ,

 

 

T   P  P 

a 2   b 2

.

7          1          2          b

 

1.2.2. Общее уравнение динамики

 

Принцип возможных перемещений в случае движения системы.

Общее уравнение динамики

 

 
Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить и к решению задач динамики. На основании принципа Германа – Эйлера – Даламбера для несвободной механической системы в любой момент времени            геометрическая     сумма     равнодействующей задаваемых сил, равнодействующей реакций связей и силы инерции для каждой точки Mi механической системы равна нулю:

 

 

Рис. 2.15

 

Pi + Ri + Фi  = 0  (i = 1, 2, … , n).

 

Если система получает возможное перемещение, при котором каждая точка имеет возможное перемещение δsi,

то сумма работ этих сил на перемещении δsi должна быть равна нулю (рис. 2.15):

 

Pi δsi cos(Pi, δsi) + Ri δsi cos(Ri, δsi) + Фi δsi cos(Фi, δsi) = 0 (i = 1, 2, … , n).

 

Суммируя все n уравнения, получаем

 

∑Pi δsi cos(Pi, δsi) + ∑Ri δsi cos(Ri, δsi) + ∑Фi δsi cos(Фi, δsi) = 0.

 

Положим, что все связи в рассматриваемой механической системе двусторонние и идеальные (силы трения, если они имеются, отнесены к числу задаваемых сил). Тогда сумма работ реакций связей на возможных перемещениях системы равна нулю:

 

∑ Ri δsi cos(Ri, δsi) = 0.

При этом условии

 

 

∑ Pi δsi cos(Pi, δsi) + ∑Фi δsi cos(Фi, δsi) = 0.

 

Общее уравнение динамики показывает, что в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю.

Если  в  каждую  точку  Mi   системы  из  некоторого  центра  О  провести  вектор

ri ,  то

возможное  перемещение  этой  точки  δsi   будет  соответствующим  приращением  радиус-

вектора точки:

δsi = δri    (i = 2, 1, ..., n).

 

 

 
Так как возможное перемещение точки не обязательно направлено в сторону ее действительного движения, то возможное приращение радиус-вектора δri не всегда равно действительному приращению радиус-вектора точки dri .

Работу задаваемых сил

Pi   и сил инерции Фi

на возможных

перемещениях  точек  системы  δri    можно  представить  в  виде скалярных произведений.

Тогда

 X i

 m i xi   x i

 Y i

 m i yi   y i

 Z i

 m i zi   z i   0 .

Общее уравнение динамики позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы.   Если   механическая   система   состоит   из   отдельных твердых тел, то силы инерции точек каждого тела можно привести к силе, приложенной в некоторой точке тела, и паре сил. Сила

 

Рис. 2.16

равна  главному  вектору  сил  инерции  точек  этого  тела,  а  момент  пары  равен  главному моменту этих сил относительно центра приведения. Чтобы воспользоваться принципом возможных перемещений, к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силу и пару, составленные силами инерции точек тела. Затем системе сообщают возможное перемещение и для всей совокупности задаваемых сил и приведенных сил инерции составляют уравнение.

Если среди связей системы имеются односторонние связи, то для применения общего уравнения динамики необходимо, чтобы возможные перемещения системы не были освобождающими.

 

Обобщенные силы и примеры их вычисления

Рассмотрим   механическую   систему   из   n   материальных   точек   М1,   М2,   …,   Мn,

находящуюся под действием системы сил

P1 , P2 ,..., Pn  (рис. 2.16).

Предположим, что механическая система имеет s степеней свободы, т. е. ее положение определяется обобщенными коор-динатами q1, q2, …, qn.

Дадим  обобщенной  координате  qj   бесконечно  малое  приращение  δqj,  не  изменяя

остальных обобщенных координат механической системы. Тогда точки системы получат

бесконечно малые перемещения     δq1, δq1,…, δqn.

Так как эти перемещения допускаются связями, то совокупность этих перемещений

будет одним из возможных перемещений системы.

Силы

P1 , P2 ,..., Pn  совершат на перемещениях δq1, δq1, …, δqn элементарную работу:

 A gj

  Pi  s i  cos

Pi ,  s i .

 

Отношение элементарной работы к приращению обобщенной координаты δqj, назовем обобщенной силой, соответствующей координате qJ, и обозначим Qj.

 

 

Q j   

 

Agj

q j

 

Pi si

cosP , s  

i

 

i

 
.

q j

 

Обобщенной силой Qj, соответствующей обобщенной координате qJ, называют скалярную величину, определяемую отношением элементарной работы действующих сил, на перемещение  механической  системы,  вызванном  элементарным  приращением  δqj координаты qJ, к величине этого приращения.

 

Тогда Q j  q j

 

  Pi  s i  cos Pi ,  s i    ,

 

откуда следует, что произведение обобщенной силы, соответствующей координате qj, на приращение этой координаты δqj, равно элементарной работе приложенных к системе сил на перемещении системы, вызвано приращением этой координаты.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты:

Q  A .

q

 

Так, например, линейной обобщенной координате q соответствует обобщенная сила

Q j , измеряемая единицами силы.

Если  за  обобщенную  координату  q  принят  угол  φ,  измеряемый  в  радианах,  то

размерность  обобщенной  силы  Q j

совпадает  с  размерностью  момента.  Так  как  каждой

обобщенной координате соответствует обобщенная сила, то число обобщенных сил механической системы равно числу обобщенных координат, причем размерность каждой из обобщенных сил соответствует размерности соответствующей обобщенной координаты. Известно, что существует два способа группировки сил, действующих на механическую систему:

  деление на внешние и внутренние силы;

  деление на задаваемые силы и реакции связей.

Соответственно этому обобщенные силы разделяются или на обобщенные внешние и обобщенные  внутренние  силы,  или  на  обобщенные  задаваемые  силы  и  обобщенные реакции связей.

Покажем, что в случае стационарных связей обобщенные реакции идеальных связей равны нулю. Действительно, для нахождения обобщенной реакции, соответствующей координате q, следует вычислить сумму работ реакций связей на перемещении системы, соответствующем приращению δqj этой координаты, а затем определить обобщенную реакцию связи по формуле

Q R   =

 
Pi si

j

cosP , s   

i

 

i

 
.

q

j

 

В случае стационарных связей описанное перемещение системы является одним из возможных перемещений этой системы, а потому сумма работ реакций идеальных связей на этом перемещении равна нулю:

 

 

Отсюда следует, что

 Pi si cosPi , si

  0 .

j

 
Q R   0 ;

j  1,2,..., s  .

Таким   образом,   при   определении   обобщенных   сил   реакции   идеальных   связей выпадают.

 

Выражение обобщенных сил через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат

 

 
Случай сил, имеющих потенциал

Рассмотрим  механическую  систему  из  n  матери-

альных точек, находящуюся под действием сил

P1 , P2 ,..., Pn .

Положим, что система имеет s степеней свободы, т. е. ее  положение  определяется  обобщенными  координатами q1, q2, …, qn.

Найдем           выражение     обобщенной   силы,  соответ-

ствующей каждой обобщенной координате системы. Для этого проведем в каждую точку системы Mi из начала неподвижной системы декартовых координат радиус- вектор ri (рис. 2.17).

 

Рис. 2.17

При наличии нестационарных связей радиус-вектор точки, так же как и ее декартовы координаты, является функцией всех обобщенных координат и времени:

 

ri = ri (q1, q2, …, qs, t) (i = l, 2,…, n).

 

Чтобы  найти  обобщенную  силу

 

Q j ,  соответствующую  обобщенной  координате  qi ,

сообщим координате qi элементарное приращение δqi, тогда радиус-вектор каждой точки Mi

получит приращение, обусловленное приращением только одного аргумента qj.

 

rij

 ri   .

q j

 

Составим  сумму  работ  всех  сил,  действующих  на  систему,  на  возможных перемещениях точек δrIJ, вызванных приращением координаты δqi. Воспользуемся для этого выражением элементарной работы силы в виде скалярного произведения и получим обобщенную силу Qj в следующем виде:

 

n       x       y

 

z  

q

 
Q     X

            i   Y

            i   z

            i   .

j

i 1 

i  q

i  q

i

i  

 

i

 

i

 
Аналогичное выражение можно получить и для обобщенной силы инерции:

 

n                   x       y

z  

i

 

q

 
Q ф    m  X

            i   Y

            i   z       i   .

j

i 1

i        i  q

i  q

i

i  

 

i

 
В случае, когда силы, действующие на механическую систему, имеют потенциал, то

 

Q           П  ,

j           q

j

 

т. е. в случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате  qiб,  равна  взятой  со  знаком  минус  частной  производной  от  потенциальной энергии механической системы по этой координате.

 

Общее уравнение динамики в обобщенных силах. Условия равновесия сил

Преобразуем общее уравнение динамики:

n

 Pi   Фi  ri

i 1

 

 0 .

 

Подставим в это уравнение наиболее общие возможные перемещения точек системы δri, вызванные одновременными бесконечно малыми приращениями всех обобщенных координат системы. Эти перемещения равны геометрической сумме возможных перемещений, вызванных приращениями отдельных обобщенных координат, общее уравнение динамики примет следующий вид:

 

n          s

i

 

i

 
 P  Ф   ri

 

 q

 

 0 .

i

i 1

j 1 q j

 

Суммируя  сначала  по  точкам  системы  (i  =  1,  2,  …,  n),  а  затем  по  обобщенным координатам (j = 1, 2, ..., s), получаем

 

s             n

ç

 
  qi  

P   ri

i   q

            Ф   ri