Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1416


1.1.6. принцип даламбера для материальной точки и для механической системы

 

Принцип  Даламбера для материальной точки

Принципом Германа–Эйлера–Даламбера называют общий метод, при помощи которого уравнениям динамики по форме придается вид уравнений статики. Этот метод, предложенный в 1716 г. Германом и обобщенный в 1737 г. Эйлером, получивший название петербургского принципа, часто называют началом, или принципом Даламбера, хотя действительная сущность начала Даламбера не аналогична петербургскому принципу. Положим, что материальная точка М под действием  системы  сил  Р1,  Р2,  ...,  Рn    движется  с  ускорением  w (рис. 1.23).

 

 

Рис. 1.23

 

Р1 + Р2 + …+ Рn + Ф = 0.

 

Полученное соотношение формулируется так: геометрическая сумма всех приложен-

ных к точке сил и силы инерции этой точки равна нулю.

Это означает, что для решения задачи динамики  материальной точки по принципу Германа–Эйлера–Даламбера следует, помимо приложенных к точке М сил, условно приложить к этой точке и силу инерции Ф. Тогда многоугольник рассматриваемой системы сил Р1, Р2, ..., Рт, Ф будет замкнут, и суммы их проекций на координатные оси будут равны нулю. Как известно, в действительности сила инерции материальной точки приложена не к ней, а к телу, сообщающему точке ускорение. Приложение силы инерции к точке является лишь условным приемом, сводящим задачу динамики по форме решения к задаче статики.

Благодаря своей простоте этот метод получил широкое применение во многих прикладных дисциплинах. В ряде случаев он обеспечивает наиболее простое и удобное решение задач динамики.

 

Принцип Даламбера для несвободной механической системы

При  изучении  движения  несвободной  механической  системы  так  же,  как  и  при

изучении  движения  одной  несвободной  точки,  применяют  принцип  освобождаемости  от связей.      По            этому  принципу       имеющиеся    связи   отбрасывают, заменяя           их        действие

соответствующими  реакциями.  Полученную  механическую  систему  рассматривают  как

свободную, находящуюся под действием задаваемых сил и реакций связей.

Рассмотрим несвободную механическую систему, состоящую из п материальных точек.

Применим  к  каждой  точке  Мi   этой  системы  принцип  Германа–Эйлера–Даламбера.

 

 
Тогда

 

где Рi – равнодействующая всех задаваемых сил, приложенных к точке Мi;

 

Ri – равнодействующая реакций связей, приложенных к этой точке;

Фi = mi wi – сила инерции материальной точки Мi.

Это  уравнение  показывает,  что  в  любой  момент  времени  геометрическая  сумма

равнодействующей задаваемых сил, равнодействующей реакции связей и силы инерции для каждой материальной точки несвободной механической системы равна нулю. Это положение

называется  принципом  Германа–Эйлера–Даламбера  для  несвободной  механической системы.

 

 
Сложив все п уравнений, получим:

 

Из этого уравнения следует, что в любой момент времена для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных векторов задаваемых сил, реакций связей и сил инерции материальных точек системы равна нулю.

 

 

Уравнение показывает, что в любой момент времени для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных моментов задаваемых сил, реакций связей и сил инерции материальных точек системы относительно любого неподвижного центра равна нулю.

 

Примеры применения принципа Даламбера

Пример  1.  Подъемник  весом  G  =  7350  Н  поднимается а      б          равноускоренно  и  в  первые  5  секунд  проходит  25 м.  Найти

натяжение поднимающего его троса (рис. 1.24).

Решение. Приложим к подъемнику действующие на него силы:  его  вес  G  и  реакцию  троса  Т.  Условно  приложим   к

подъемнику    его       силу    инерции

  ma ,          направив        ее

 

 

Рис. 1.24

противоположно ускорению  a , т. е. вниз. Тогда геометрическая

сумма сил G, Т и Ф равна нулю: G  T  Φ  0 .

Так как силы направлены по одной прямой, то

T  G    0,

T  G  .

 

Для определения реакции троса найдем модуль силы инерции подъемника, определив предварительно его ускорение. Уравнение равноускоренного движения из состояния покоя:

 

H  at 2   2 ,

 

a  2H

t 2   2  25 / 52   2 м/с2 ,

Φ  ma  G

g  a  (7350 / 9,8)  2  1500 Н.

 

Находим реакцию троса, равную его натяжению:

 

T  G  Φ  7350  1500  8850 Н.

 

При движении подъемника вниз с тем же ускорением:

 

T  G    0,

 

T  G  Φ  7350  1500  5850 Н.

 

При равномерном движении подъемника (как вверх, так и вниз) a = 0, Ф = 0, а потому:

 

T  G  7350 Н.

 

Пример 2. Шарик А весом G = 50 сН подвешен на нити длиной l = 40 см, закрепленной в неподвижной точке O. Шарику сообщается равномерное движение по окружности в горизонтальной  плоскости,  при  котором  нить  составляет  с  вертикалью  угол  α = 30˚. Определить натяжение нити и скорость шарика этого канонического маятника.

Решение. Прикладываем к шарику действующие на него силы: его вес G и реакцию нити Т. Условно прикладываем к шарику и его силу инерции Ф. При равномерном движении сила инерции шарика Ф равна нормальной силе инерции Фn, направленной противоположно нормальному ускорению an. Ее модуль

 

Φ  Φn

 

 m 2

 

r , где r  lsin .

 

Строим замкнутый треугольник сил G, Т, Ф. Из треугольника определяем модули сил Т и Ф:

 

T       G

cos

 

         50

0,866

 

 57,7 сН;

 

Φ  Gtg  50  0,577  28,85 сН .

 

Определив модуль силы инерции, находим скорость шарика А:

 

      Φr 

m

Φgl sin  

G

0,2885  9,8  0,4  0,5  1,06 м/с .

0,5

 

 

Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду

К системе сил инерции точек твердого тела можно применить метод Пуансо – метод приведения сил к некоторому центру, рассмотренный в статике. В динамике за центр приведения  сил  инерции  выбирают  обычно  центр  масс  тела  С.  Тогда  в  результате приведения получится сила Ф*, равная главному вектору сил инерции точек тела, и пара сил с моментом М*.

Главный вектор сил инерции точек твердого тела при любом ее движении:

 

Ф* = –mwc.

 

Остается определить главный момент сил инерции точек тела относительно центра масс.

Рассмотрим некоторые случаи движения твердого тела.

1. Поступательное движение.

 

Ф = Ф* = –mwc.

 

Таким образом, при поступательном движении силы инерции точек твердого тела приводятся к равнодействующей силе приложенной в центре масс  тела,  равной  по  модулю  произведению  массы  тела  на  модуль ускорения его центра масс и. направленной противоположно этому ускорению.

2. Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к этой плоскости (рис. 1.25).

 

h  M Ф   Ф .

 

Точка Ох, через которую проходит линия действия равнодействующей сил инерции Ф, является центром качаний.

3. Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг центральной оси, перпендикулярной к этой плоскости.

 

Рис.1.25

В этом случае ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела, так

как она проходит через центр масс тел, перпендикулярно к плоскости симметрии

 

Ф* = –JC2 ε.

 

Таким образом, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, которая является его главной центральной осью инерции, то силы инерции точек тела приводятся к паре сил,

лежащей  в  плоскости  материальной  симметрии  тела,  момент  которой  определяется  по приведенной формуле.

4.         Плоское          движение       твердого         тела,    имеющего       плоскость       материальной симметрии.

Рассмотрим   такое   движение   твердого   тела,   имеющего   плоскость   материальной

симметрии, при котором все точки тела движутся параллельно этой плоскости (рис. 1.26).

Это движение тела можно разложить на поступательное движение с центром масс тела С и вращение вокруг подвижной оси Ct, проходящей через центр масс тела перпендикулярно к

плоскости симметрии.

Cилы инерции вращательного движения тела в таком случае   приводятся   к   паре   сил,   лежащей   в   плоскости

симметрии и имеющей момент

 

Ф

 
M           J   ,

 

(1.33)

 

где       J 

–  момент  инерции  тела  относительно  главной

 

 

Рис. 1.26

центральной оси инерции Сζ.

Таким образом, если твердое тело, имеющее плоскость

материальной            симметрии,    движется        параллельно   этой плоскости, то силы инерции точек тела приводятся к силе,

приложенной в центре масс и равной главному вектору сил инерции,  и  к  паре  сил,  лежащей в  плоскости  симметрии,

величина момента которой определяется формулой (1.33).

В  более  сложных  случаях  движения  тела  главный  вектор  и  главный  момент  сил инерции  относительно  центра  приведения  находят  аналитическим  путем,  т. е.  по  их проекциям на три координатные оси.

 

Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

 

 

 

Рис. 1.27

Вращение твердого тела вокруг

его главной центральной оси инерции

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной Оси z под действием приложенных к нему внешних задаваемых сил. Положим, что в рассматриваемый

момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Чтобы воспользоваться принципом Германа–Эйлера– Даламбера, приложим к каждой точке тела Mi силу инерции Ф (рис. 1.27).

При неравномерном вращении тела эта сила состоит из

вращательной силы инерции ФВi, направленной противо- положно  вращательному  ускорению  точки  Mi ,  и  центро- бежной силы инерции ФЦi, направленной противоположно центростремительному ускорению этой точки.

На основании принципа Германа–Эйлера–Даламбера:

A

 
P E   R

 RB

 Ф   0            

.

M E   M R A    M RB    M Ф   0

 

 

После преобразований получаем:

A         A         A         A

 

 X E   X

 X        mx  2   my    0

i           A         B          c          c

 Y E   Y    Y

my  2   mx    0           

i           A         B          c          c

E          

 Z i

 Z A   0         

 .

ix

 

B

 

zx

 
 M E   Y

h J

 2   J

   0          

yz

 

zx

 

yz

 

iy

 

B

 
 M E   Y

E

hJ

 2   J

   0          

 M iz

 J z   0        

 

Последнее уравнение системы представляет собой дифференциальное уравнение вращения тела.

Остальные пять уравнений позволяют определить пять составляющих реакций подпятника А и подшипника В.

В первое, второе, четвертое и пятое уравнения системы, из которых определяются составляющие реакций опор вдоль осей х и у, входят члены, зависящие как от внешних задаваемых сил, так и от сил инерции. Следовательно, каждая из этих реакций имеет статическую составляющую, вызываемую действием внешних задаваемых сил, и динамическую составляющую, зависящую от сил инерции.

Члены уравнений системы, зависящие от сил инерции, отмечены рамками.

При быстром вращении тела динамические составляющие могут иметь большие значения.

Условия, при которых динамические составляющие реакций подпятника и подшипника равны нулю, Уyz = 0 и Ум = 0.

Это означает, что ось вращения тела z должна быть главной осью инерции тела для

начала координат.

Таким образом, установлено, что динамические составляющие реакций подпятника и подшипника   равны   нулю   в   том   случае,   если   ось   вращения   тела   является   главной центральной осью инерции тела.

Для выполнения этого условия вращающимся частям машин обычно придают форму тел вращения с тем, чтобы это тело вращалось вокруг своей оси симметрии.

Если из-за неточности изготовления ось вращения тела не окажется главной центральной осью инерции, то эта погрешность устраняется специальными приемами.