Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1383


1.1.3. работа. теорема об изменении кинетической энергии

 

Две меры механического движения

В динамике рассматриваются два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек:

  механическое движение переносится с одной механической системы на другую в ка-

честве механического движения;

  механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д.).

Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую  форму  движения,  мерой  механического  движения  является  вектор  количества

движения материальной точки

K  mv или механической системы

K  mvc .

Когда механическое движение превращается в другую форму движения материи, в качестве  меры  механического  движения  выступает  кинетическая  энергия  материальной точки или механической системы.

Работа является количественной мерой превращения механического движения в какую-

либо другую форму движения.

Работа постоянной силы

Работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы (P) на вектор перемещения (u) точки ее приложения:

A = P · u.

 

Элементарная работа

Положим,  что  точка  приложения  переменной  по  модулю  и  направлению  силы  P

перемещается по криволинейной траектории из М1 в М2.

Элементарная работа силы Р на участке ММ' определяется по формуле

 

δA = Pdσcos(P, υ).

 

Здесь Р – модуль силы, соответствующей точке М;

dσ – длина пути ММ', т. е. пройденный точкой элементарный путь;

cos(P, υ) – косинус угла, составленного направлением силы P  и скоростью v .

Элементарная работа обозначается δА, а не dA, так как в общем случае она не является дифференциалом функции.

 

Работа силы на конечном пути

Работа  силы  Р  на  конечном  перемещении  равна  сумме  ее  работ  на  элементарных

n

участках:

A  Ai .

i 1

Пользуясь выражениями элементарной работы и переходя к пределу при стремлении числа участков к бесконечности, получаем следующие выражения работы силы P  на конечном перемещении М1М2:

 

A1, 2  

 

A1, 2  

M 2

 Pd cosP,  ,

M1

M 2

 Pds cosP,  ,

M1

 

A1, 2  

M 2

 P ds,

M1

 

A1, 2  

 

M 2

M 2

 P  dr,

M1

A1, 2  

 Xdx  Ydy  Zdz .

M1

 

 

 

Теорема 1:

Теоремы о работе силы

Работа  равнодействующей  силы  на  некотором  перемещении  равна  алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении:

 

A = A1 + A2 + … + An.

Теорема 2:

Работа  постоянной  силы  на  результирующем  перемещении  равна  алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях:

А = Р × u = P × (u1 + u2+ … + un) = P × u1 + P × u2 + ... + P × un.

 

Изображение работы в виде площади

Установлено, что работа переменной силы на конечном перемещении М1М2 определяется криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги М1М2 траектории, которую описывает точка приложения силы.

Криволинейный интеграл, определяющий работу силы, вычисляется обычно аналитически при помощи формулы или графически (площадь под графиком).

 

Работа силы тяжести

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению силы тяжести на вертикальное перемещение точки ее приложения:

 

A1,2 = ±GH,

 

где G – сила тяжести, а H – величина вертикального перемещения точки.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка ее приложения, а зависит лишь от расстояния между горизонтальными плоскостями, проходящими через начальное и конечное положения точки.

 

Работа силы упругости

Элементарная работа силы упругости:

 

A  cxdx,

 

где с – коэффициент жесткости пружины.

Работа силы упругости ( P ) на перемещении В1В2 = h:

 

h          ch2

2

 
A1, 2   c xdx       .

0

 

Работа силы упругости отрицательна в том случае, когда деформация увеличивается, т. е. когда сила упругости направлена противоположно перемещению ее точки приложения, и положительна, когда деформация уменьшается.

 

Работа силы тяготения

Допустим, что на материальную точку М массой т, расположенную в пространстве на расстоянии r от неподвижного притягивающего центра С массой т0, действует ньютонова сила тяготения:

 

P  f

 

mm0 .

r 2

 

 

 
Работа   силы  тяготения   Р  при   перемещении точки из М1 в М2 :

 

 

A   fmm

 

M 2  dr

 

 

  fmm

 

r2  dr

 

 1

 fmm 

 

1 

            .

0   r 2

0  r 2

0  r    r

M1       r1

Мощность

  2     1 

 

 

Рис. 1.14

Изменение работы силы, отнесенное к единице времени,  называется  мощностью  силы.  Если  в течение   малого   промежутка   времени   dt   сила   Р

совершает работу A  P  dr, то мощность этой силы:

Pdr

dr                  

N       P 

dt         dt

 P  .

 

Таким  образом,  мощность  силы  равна  скалярному  произведению  векторов  силы  и скорости ее точки приложения. Аналитическое выражение мощности силы имеет вид

 

N  Xx  Y y   Zz ,

 

где  x , y , z – проекции скорости точки приложения силы на оси координат.

  

N  P cos(P, ).

 

За единицу мощности в системе МКС принимается 1 ватт (Вт) = 1 Дж/с = 0,102 кгс · м/с, а в системе СГС–1 эре/с. В системе МКГСС за единицу мощности принимается 1 кгс · м/с. Кроме того, применяются следующие единицы мощности: 1 киловатт (кВт) = 103  Вт –

102 кгс · м/с = 1,36 лошадиной силы. 1 лошадиная сила (ИР) = 75 кгс · м/с = 0,736 кеда =

736 Вт. В технике часто за единицу работы принимается 1 киловатт-час (кВт·ч), т. е. работа, совершаемая в течение одного часа движущей силой машины, мощность которой равна 1 киловатту: 1 киловатт-час = 1000 · 3600 ватт-секунд = 36 · 105 джоулей.

 

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Теорема (об изменении кинетической энергии материальной точки): изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на этом же перемещении.

 

2

 
mv2

2

 

2

 
 mv1

2

 

  Ai .

 

Теорема (об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении): работа кориолисовой силы инерции на относительном перемещении точки равна нулю и не входит в уравнение изменения кинетической энергии.

 

2

 
mv2 r

2

 

2

 
 mv1r

2

 

M 2

   Pi d r cos(Pi , vr ) 

M1

 

M 2

 Фе d r cos(Фс , vr ) ,

M1

 

где Фe и Фc – переносная и кориолисова силы инерции соответственно.

 

Пример применения теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки

Пример. Состав из 50 вагонов весом в 800 кН каждый движется по подъему i = tga =

= 0,002. Сопротивление его движению составляет 3 Н на 1 кН веса. На протяжении 750 м скорость поезда изменяется от 18 км/ч до 36 км/ч. Определить силу тяги тепловоза.

Решение.        Рассматриваем          поступательное         движение       состава           как       движение материальной точки.

Применяем   к   его   движению   теорему   об   изменении   кинетической,   энергии   на перемещении М0М1 (рис. 1.14).

Скорость поезда на этом перемещении изменяется от υ0 = 18 км/ч = 5 м/с до υ1 = 36 км/ч =

10 м/с.

На состав действуют постоянные по модулю и направлению силы: сила тяги тепловоза Р, вес состава G, нормальная реакция рельсов N и сила сопротивления движению F, модуль, которой равен 0,003G.

 

Составляем уравнение:

 

 

1

 
m 2

2

 

 

0

 
m 2

2

 

 

  Аi .

 

Работу силы тяги Р на перемещении М0М1 определяем по формуле

 

AP   Pscos0  Ps.

 

Работа силы тяжести G зависит только от вертикального перемещения H:

 

AG   GH  Gs sin .

 

Так как угол α мал, то sinα ≈ tgα = i и

 

AG   Gsi  0,002Gs.

 

Работа силы N, перпендикулярной к перемещению, равна нулю.

Работа силы сопротивления F определяется по формуле

 

AF   Fscos180  Fs  0,003Gs.

 

Подставляя  в  уравнения  значение  массы  состава  m = G/g  и  значения  работы  всех приложенных к нему сил, получаем:

 

G  2  2   Ps  0,002Gs  0,003Gs.

 

 

откуда

2g        1          0

 

P   G

 

 2    2  0,005G.

2gs       1          0

 

Подставляя числовые значения, находим модуль силы тяги тепловоза:

 

P       40 000

2  9,8  750

 

102   52  0,005  40 000  204  200  404 кН.

 

 

Работа сил, приложенных к твердому телу

 

Работа внутренних сил

Твердое тело представляет собой механическую систему, расстояния между точками которой остаются неизменными.

Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

 

Поступательное движение твердого тела

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, движущемуся поступательно,

равна элементарной работе главного вектора внешних сил, приложенного в любой точке тела.

Работа на конечном перемещении:

II

А   R E  dr.

I

 

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота:

         i           z

δА 

δАE   M E d.

 

Если при вращении тела значение его угла поворота изменяется от φ1 до φ2, сумма работ сил на этом конечном перемещении будет

 

 Аi

 

2

z

 
  M E d.

1

 

Общий случай движения свободного твердого тела

Элементарная работа внешних сил, приложенных к свободному твердому телу в общем случае его движения, равна сумме элементарных работ их главного вектора на перемещении точки его приложения – полюса и главного момента этих сил относительно мгновенной оси, проходящей через полюс, на перемещении при повороте вокруг этой оси:

E

 
δА   δАi

 

 R E

 

E

 
 dr0  M  δα.

 

Сопротивление качению

Рассмотрим цилиндрический каток, находящийся на горизонталь-ной плоскости в состоянии покоя (рис. 1.15, а). На каток действуют две взаимно уравновешивающиеся силы: вес  катка  Q  и  нормальная  реакция  плоскости  N,  где  N = –Q.  Если  под  действием горизонтальной силы Р, приложенной в центре катка С, он катится по плоскости без скольжения,  то  силы  G  и  N  образуют  пару  сил,  препятствующую  качению  катка  по плоскости (рис. 1.15, б).

Возникновение этой пары сил обусловлено неабсолютной твердостью материалов катка и опорной плоскости.

Реакция плоскости N и вес катка G образует пару сил сопротивления качению с плечом

δ. Момент этой пары называется моментом сопротивления качению.

Величина  его  определяется  произведением       нормальной  реакции  на плечо пары δ, называемое коэффициентом трения качения:

Мсопр = Nδ.

 

Коэффициент трения качения выражается в линейных единицах.

 

Теорема о кинетической энергии механической системы в общем случае ее движения (теорема Кенига)

Теорема (о кинетической энергии механической системы): кинетическая  энергия  механической  системы  равна  сумме кинетической  энергии  центра  масс  системы,  масса  которого  равна массе всей системы, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении по отношению к центру масс

а

 

б

 

Рис. 1.15

1                 m u

 
2

Т       m 2            i   ir .

2          C         2

 

Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости:

 

Т  1 m 2 .

2

 

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна полотне произведения его момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела:

Т  1 J  2 .

2   z

 

Кинетическая энергия твердого тела, совершающего сферическое движение, равна половине произведения момента инерции тела относительно мгновенной оси вращения на квадрат угловой скорости тела:

Т  1 J

2

 

где ω – мгновенная угловая скорость тела;

 

W

 
 2 ,

JΩ – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения.

Кинетическая  энергия  твердого  тела  в  общем  случае  его  движения  равна  сумме

кинетической энергии тела в его переносном поступательном движении вместе с центром масс и его кинетической энергии в сферическом движении относительно центра масс:

 

Т  1 m 2   1 J

 

 2 .

2          C         2   C

 

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема (об изменении кинетической энергии механической системы): изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении:

E

 
Т 2  Т1   Аi

  АJ .

i

 

 

 
Для твердого тела последнее уравнение принимает вид

 

E

 
Т 2  Т1   А .

i

 

Пример применения теоремы об изменении кинетической энергии

механической системы

Пример.          На        цилиндрический       вал      весом  8 кН     и диаметром  20 см  насажено  маховое  колесо  весом  25 кН  и

радиусом        инерции         относительно оси      колеса

ix   = 0,6 м.

 

 

Рис. 1.16

Вследствие трения в подшипниках вращение вала замедляется.

Коэффициент  трения  в  подшипниках  равен  0,05,  начальная

угловая скорость вала 120 об/мин. Определить, сколько оборотов сделает вал до остановки

(рис. 1.16).

Решение. Так как вал с маховиком представляет собой твердое тело, то изменение кинетической энергии его происходит согласно уравнению

E

 
Т  Т 0    А  .

i

 

В момент остановки T = 0 уравнение принимает вид:

 

E

 
 Т 0    Аi  .

 

Кинетическая  энергия  вала  с  маховиком,  вращающимся  вокруг  неподвижной  оси,

которую примем за ось х, определяется по формуле

 

Т   1 J  2 ,

0          2   x    0

 

где Jx – момент инерции этого вала с маховиком относительно оси вращения.

К валу приложены внешние силы: суммарный вес вала и маховика  G , нормальная реакция подшипников  N  и сила трения скольжения  F , приложенная к валу в точке, где передается давление вала на подшипники, и направленная противоположно вращательной скорости v этой точки.

Угол поворота вала изменяется от 0 до φ, и сумма работ внешних сил

 

E

 
 Аi

 

E

 
 M x .

 

Так как силы Q  и N  пересекают ось вращения вала, то их моменты относительно этой оси равны нулю.

Момент относительно оси вала имеет лишь сила трения F , модуль которой F = fN.

Так как угол наклона силы N  к вертикали практически очень мал, то N ≈  G и F ≈ fG.

Поэтому сумма работ внешних сил:

 

E

 
 Аi     FR   fGR.

 

Момент  силы  трения  отрицателен,  так  как  направление  вращения  вала  (против движения часовой стрелки) принимается за положительное, а момент силы трения направлен противоположно (по движению часовой стрелки).

Получаем:

J  2

J  2

   x     0    fGR , откуда      x     0  .

2          2 fGR

 

Вычислим  моменты  инерции  вала  (сплошного  цилиндра)  и  махового  колеса  по соответствующим формулам:

 

2

 
J            mВ R

 

2

 
 GR

 

8000  0,12

 

 

 4,1 кг  м2 ;

xB        2

2 g       2  9,81

2          2

 

J            m

i 2   GM tx

 25 000  0,6

 

 918,4 кг  м2 .

xМ       М  x     g

9,81

 

 

Момент  инерции  рассматриваемого  тела  равен  сумме  моментов  инерции  вала  и маховика:

x                x

 

x

 
J   J    J

B          М

 4,1  918,4  922,5 кг  м 2 .

 

Начальная угловая скорость тела:

 

0  

 

n0

30

 

  120

30

 

 4

 

c -1 .

 

Получаем величину угла φ в радианах:

 

2

 
      922,5 16

 

 

 44,73 2 .

2  0,05  33 000  0,1

 

Выразив φ в оборотах, найдем число оборотов вала до остановки:

 

2

 
  44,73

2

 

 

 22,36  70 оборотов.

 

Механический коэффициент полезного действия машины

1. Силы, совершающие положительную работу, называются движущими силами, на- пример, давление пара на поршень в цилиндре паровой машины или газа в двигателе внут- реннего сгорания.

2. Силы,  совершающие  отрицательную  работу,  называемые  силами  сопротивления.

Силы сопротивления делятся на две группы:

  полезные силы сопротивления – силы, для преодоления которых предназначена машина, например, сопротивление поднимаемого машиной груза и т. д.;

  вредные силы сопротивления – побочные силы сопротивления, как, например, си-

лы трения, сопротивление воздуха и т. п.

3. Силы тяжести отдельных частей машины, совершающих попеременно то положи-

тельную, то отрицательную работу.

При установившемся движении машины работа движущих сил равна абсолютной величине работы сил сопротивления:

 

Адв.с  

Апол.сопр   Авр.сопр .

 

Работа, затрачиваемая на приведение машины в движение, расходуется на преодоление полезных и вредных сопротивлений:

 

Азатр   Апол.сопр  Авр.сопр .

 

Механический коэффициент полезного действия машины η при установившемся ее движении равен отношению полезной работы машины к работе, затраченной на приведение машины в движение:

 

А

      пол.сопр   1.

Азатр

 

Если известны полезная мощность машины

N маш

и мощность двигателя, приводящего

ее в движение

Nдв , то механический коэффициент полезного действия машины

  Nмаш .

N дв