Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1416


1.1.2. элементы теории колебаний

 

Виды колебательных движений материальной точки.

Свободные колебания материальной точки

Колебательное движение материальной точки происходит при условии, если на точку

М, отклоненную от положения покоя О, действует сила P , стремящаяся вернуть точку в это

положение. Такая сила называется восстанавливающей.

Различают четыре основных случая колебательного движения материальной точки:

  свободные колебания, совершающиеся под действием только восстанавливающей силы;

  затухающие колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению;

  вынужденные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы и силы периодического характера, называемой возмущающей силой;

  вынужденные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы,

возмущающей силы и силы сопротивления движению.

Изучим  свободные  колебания  материальной  точки.  Примем  прямолинейную траекторию движения точки М за ось х и поместим начало координат О в положение, в котором точка М могла бы находиться в покое. Если точка М выведена из состояния покоя,

то на нее по оси х действует только восстанавливающая сила  P . Если в некоторый момент времени t точка М имеет координату х, то модуль восстанавливающей силы

 

Р = с · ОМ = с|х|,

 

где  с  –  коэффициент  жесткости  пружины,  численно  равный  силе  упругости  ее  при деформации, равной единице.

Составим  дифференциальное  уравнение  прямолинейного  движения  точки  М  под

действием восстанавливающей силы P :

m x = ΣXi=Px.

Решая и преобразовывая его, получим: (c/m=k2)

 

x= Asin(kt+β).  (1.11)

 

Уравнение (1.11) является уравнением гармонического колебательного движения точки.

Таким  образом,  установлено,  что  свободные  колебания  материальной  точки  под действием линейной восстанавливающей силы являются гармоническими колебаниями.

Амплитуда  A  и  начальная  фаза  β  свободных  колебаний  материальной  точки  как постоянные интегрирования определяются по начальным условиям движения: (x0, x 0, t0 = 0);

A=(x02+( x 0/k)2)1/2, tg (β)=kx0/ x 0.

Так как каждому значению тангенса соответствуют два угла в пределах от 0 до 2π, то необходимо определить еще sin(β)=x0/A.

Циклическая частота и период свободных колебаний определятся по формулам:

k = (c/m)1/2,

 

T = 2π/k = 2π(m/c)1/2.

 

 

 
как видно, частота и период свободных колебаний точки зависят лишь от массы этой точки и от коэффициента с, характеризующего восстанавливающую            силу,    и    не    зависят    от начальных условий движения.

Период свободных колебаний Т увеличивается

при  увеличении  массы  точки  и  уменьшается  при увеличении коэффициента с.

График            свободных      колебаний      показан на рис. 1.6.

 

Рис. 1.6

 

Свободные колебания груза, подвешенного к пружине

Рассмотрим груз весом G, подвешенный к пружине АВ, конец А которой закреплен

неподвижно. Когда груз находится в покое, удлинение пружины равно fст. Положим, что в некоторый момент времени груз был смещен из положения покоя вниз по вертикали на

величину у0 и отпущен с начальной скоростью

y0 .

Определим возникшее движение груза, пренебрегая массой пружины.

Начальные условия будут: t0 = 0, у = у0,

y  y0 . На груз действуют силы: сила тяжести

G и сила упругости пружины P , модуль которой пропорционален деформации пружины.

Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

m y = ΣYi = G – c(fст + y).

Учитывая, что в положении статического равновесия G=c fст, получим

y +сy=0.          (1.12)

Уравнение  (1.12)  является  дифференциальным  уравнением  свободных  колебаний материальной точки.

Круговая частота свободных колебаний груза

k

f           2 ,

где k=(c/m)1/2  [c-1].

Период его колебаний

 

T=1/f=2π/k=2π(m/c)1/2

 

Представим уравнение движения груза в форме (1.11):

 

y= Asin(kt+β).

 

Амплитуду  A  и  начальную  фазу  β  колебаний  определим,  пользуясь  начальными условиями:

A=(y02+( y  /k)2)1/2,  tg (β)=ky0/ y  .

0          0

 

Уравнение движения груза (1.11) примет вид

 

y  A sin(( ñ / m)1 / 2 t   ) .   (1.13)

 

Формула (1.13) является общей для определения периода свободных колебаний груза, поддерживаемого упругой связью. Она позволяет определить период свободных колебаний этого груза около положения, в котором действующие на груз силы уравновешиваются.

 

Эквивалентная жесткость

При последовательном соединении жесткость эквивалентной пружины можно определить по формуле

C    C1C2     .

C1  C2

При     параллельном            соединении    пружин           коэффициент  упругости       эквивалентной пружины равен сумме коэффициентов упругости данных пружин:

 

C  C1   C2 .

 

Примеры на свободные колебания

Пример  1.  Тело  весом  G = 20 H,  лежащее  на  гладкой  горизонтальной  плоскости  и прикрепленное к концу недеформированной пружины, отклоняют из положения покоя вправо, растягивая пружину на 4 см, и отпускают, сообщая начальную скорость 56 см/с, направленную влево (удлинение пружины на 1 см вызывается силой 4 H). Определить дальнейшее движение тела, пренебрегая массой пружины.

Решение. Направим ось х горизонтально вправо, считая началом координат О положение покоя тела, принятого за материальную точку. Тогда начальные условия будут следующими:t = 0, хо = 4 см,  x о = –56 см/с.

В произвольный момент времени t на тело М, имеющее координату х, действуют силы:

         

сила тяжести  G , реакция плоскости  N

направленная к точке О.

и сила упругости деформированной пружины  P ,

Составим дифференциальное уравнение движения тела

 

m x = ΣХi= Px= –cx.

 

Решая и преобразовывая его, получим:

 

x= Asin(kt+β).

 

Вычислим частоту и период колебаний:

k=(c/m)1/2 =(cg/G)1/2 =14 рад/с; T = 2π/k = 0,45 c.

Амплитуду А и начальную фазу β свободных колебаний тела вычислим по начальным условиям:

A=(x02+( x 0/k)2)1/2 =(16+16)1/2≈5,7 см;

tg(β)=k x 0/x0=14·4/–56= –1;  sin(β)=x0/A=√2/2;       β = 135o= 3/4π.

Уравнение свободных колебаний груза имеет вид:

 

х = 5,7 sin (14t +3/4π).

 

Примечание. Амплитуда свободных колебаний зависит как от начального отклонения тела из положения покоя, так и от начальной скорости. При этом направление начальной скорости  не  влияет  на  амплитуду.  Так,  если  начальную  скорость  направить  вправо ( x 0  = 56 см/с), амплитуда будет иметь ту же величину. Если тело опустить без  начальной скорости ( x 0  = 0), то амплитуда А=|xo| = 4 см; т. е. амплитуда будет равна  начальному отклонению тела от положения покоя.

Наличие начальной скорости увеличивает амплитуду.

Пример 2. Груз весом G подвешен на двух пружинах с различными коэффициентами жесткости с1 и с2. Определить периоды свободных колебаний груза при последовательном и параллельном соединении пружин при условии, что удлинения параллельно соединенных пружин одинаковы (рис. 1.7 и рис. 1.8).

Решение.

а) В случае последовательного соединения пружин (рис. 1.7) общее статическое удли-

нение связи, поддерживающей груз, равно сумме удлинений двух пружин.

Таким образом, при последовательном соединении пружин приведенный коэффициент жесткости:

 

 

Период колебаний груза

 

Спр

   с1с2     .

с1  с2

 

Т  2

G(с1  с2 ) .

gс1с2

б) В случае параллельного соединения пружин (рис. 1.8) силы

пружины, определяются как параллельные составляющие силы G :

S1+ S2=G; S1/S2=l1/l2.

Величина удлинения каждой пружины:

fст=S1/c1=S2/c2=G/(c1+c2).

Период колебаний груза:

G

S1  и

S 2 , растягивающие

1            2

 
Т  2

g с   с  .

Рис. 1.7           Рис. 1.8

 

Затухающие колебания материальной точки

Материальная точка, совершающая колебания в реальных условиях, испытывает сопротивление движению (трение, сопротивление воздуха и т. п.). Это означает, что, кроме восстанавливающей силы, направленной к центру колебаний, на точку действует сила сопротивления, направленная всегда в сторону, противоположную направлению движения точки. Закон изменения модуля силы сопротивления зависит от физической природы этой силы. Так, например, модуль силы трения скольжения можно принять постоянным.

Сопротивление  воздуха  при  малых  скоростях  движения  тел  считают пропорциональным первой степени скорости, а при больших скоростях, в довольно широких пределах, его принимают пропорциональным квадрату скорости движущегося тела.

Рассмотрим    колебания       материальной            точки  М         под      действием      линейной

восстанавливающей  силы   P          и  силы  сопротивления  движению           R ,  пропорциональной скорости точки.

Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием

сил P

и R :

 

 

m x = ΣХi= Px+Rx= –cx – α x ;

или, вводя обозначения α/m=2n; и  c/m=k2:

 

x +2n x +k2x = 0.        (1.14)

 

Уравнение (1.14) является дифференциальным уравнением движения материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропорциональной скорости движения точки.

Решая дифференциальное уравнение (1.14), получим уравнение движения точки в виде:

x= Ae-ntsin(t·(k2–n2)1/2+β).   (1.15)

 

Движение, определяемое уравнением (1.15), имеет колебательный характер, так как координата х периодически изменяет свой знак при изменении знака, входящего в уравнение синуса. Множитель e-nt указывает на то, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается.

Колебания этого вида называются затухающими. График затухающих колебаний изображен на рис. 1.9.

 

Рис. 1.9

 

Пусть в начальный момент t = 0 точка имела координату х0 и проекцию скорости на ось

х, равную x 0.

A и β находим по формулам:

 

2

 
А      x 2  ( x0  nx0 )  ,

0          k 2  n2

 

0

 
tg(β)=x0(k2–n2)1/2/( x  +nx0),

 

 

 

Частота затухающих колебаний:

sin(β)=x0/A.

 

k =(k2–n2)1/2 .

 

Период затухающих колебаний Т* представляет собой промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя (рис. 1.9):

T*=2π/ k =2π/(k2–n2)1/2,       (1.16)

 

где T = 2π/k период свободных колебаний этой же точки.

Формула (1.16) показывает, что период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний точки. Однако при небольшом сопротивлении это увеличение незначительно. В случае небольшого сопротивления период затухающих колебаний можно принимать равным периоду свободных колебаний.

Амплитудой затухающих колебаний называют наибольшие отклонения точки в ту и другую сторону от положения покоя в течение каждого колебания.

 

 

 

Рис. 1.10

Из  последовательных  значений  переменной амплитуды можно составить ряд (рис. 3.10): А1, А2, …, Аi, Ai + 1, …An.

Определим отношение последовательных членов ряда Ai+1 и Ai, соответствующих моментам времени ti+ 1 = ti +T*/2 и ti.

Ai+1/Ai =e–nT*/2.

Отвлеченное  число  e–nT*/2   называется  декрементом  затухающих  колебаний; натуральный  логарифм  декремента,  т. е.  величина  –nT*/2  называется  логарифмическим декрементом:

 

–nT*/2 = –πn/(k2–n2)1/2.

 

Коэффициент  п  называют  коэффициентом  затухания.  Затухание  колебаний происходит очень быстро, даже при малом сопротивлении.

Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материаль- ной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний.

 

Апериодическое движение точки

Движение материальной точки теряет колебательный характер и становится апериодическим в случае большого сопротивления, т. е. при n≥k или α≥2*(т/с)1/2 .

а)  При n>k корни характеристического уравнения вещественны, отрицательны и раз-

личны. Тогда уравнение примет вид

 

x=Ae-nt sh ((п2 – k2)1/2 t + β).           (1.17)

 

Уравнение движения точки (1.17) показывает, что рассматриваемое движение точки не является колебательным, так как гиперболический синус не является периодической функцией.

б)  При  n = k  корни  характеристического  уравнения  вещественны,  равны  и  отрица-

тельны. Тогда уравнение примет вид

 

0

 
x= e-nt [x0+( x +nx0)t].            (1.18)

 

Движение точки, определяемое уравнением (1.18), является также апериодическим.

 

Вынужденные колебания материальной точки

Вынужденные колебания совершает материальная точка, на которую наряду с восстанавливающей   силой   действует   периодически   изменяющаяся   сила,   называемая

возмущающей силой.            

Практически  наиболее        важным          является          случай,            когда   возмущающая сила    Q

изменяется  по  гармоническому  закону,  т. е.  проекция  ее  на  ось  х,  направленную  по траектории точки, определяется

 

Qx = Hsin(pt+δ),

 

где Н – максимальный модуль, или амплитуда возмущающей силы;

p – частота изменения возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения возмущающей силы за 2π с ;

pt+δ – фаза изменения возмущающей силы;

δ – начальная фаза изменения возмущающей силы.

 

Период изменения возмущающей силы τ определяется по ее частоте:

 

τ = 2π/p.

x + k2х = h sin(pt+δ).

 

Уравнение  (1.19)  представляет  собой  дифференциальное  уравнение  вынужденных колебаний материальной точки (здесь c/m = k2; H/m = h).

Находим искомое частное решение уравнения:

 

x 

h

k 2  p2

 

sin( pt   ).

 

(1.19)

 

Общее решение уравнения примет вид

 

x  Asin(kt  β)             h

 

sin( pt   ).

 

(1.20)

k 2  p2

 

Уравнение (1.20) показывает, что точка совершает сложное колебательное движение,

складывающееся из двух гармонических колебаний.

Первый  член  правой  части  уравнения  (1.20)  определяет  свободные  колебания,  а второй – вынужденные колебания точки.

Таким образом, установлено, что при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний точки.

Постоянные интегрирования A и β в уравнении (1.20) определяются по начальным условиям движения.

Последний  член  правой  части  уравнения  (1.20),  определяющий  вынужденные колебания точки, не содержит постоянных интегрирования, следовательно, вынужденные

колебания не зависят от начальных условий движения точки.

Исследуем вынужденные колебания точки. Эти колебания определяются уравнением

 

x 

 

h

k 2  p2

 

sin( pt   ).

 

Частота  р  и  период  τ = 2π/p  вынужденных  колебаний  совпадают  с  частотой  и периодом изменения возмущающей силы.

Вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты k свободных колебаний точки, называют вынужденными колебаниями малой частоты.

Вынужденные колебания, частота р которых больше частоты k свободных колебаний,

называют вынужденными колебаниями большой частоты.

 

Фаза вынужденных колебаний

Уравнение вынужденных колебаний малой частоты (при р < k) имеет вид

 

x 

 

h

k 2  p2

 

sin( pt   ).

 

В этом случае фаза колебаний pt+δ  совпадает с фазой возмущающей силы и амплитуда вынужденных колебаний определяется формулой:

 

А      h          .

k 2  p2

 

В случае вынужденных колебаний большой частоты (при р > k) уравнению придают такой вид, чтобы коэффициент при синусе был положительным:

 

x 

 

h

k 2  p2

 

sin( pt     ).

 

В этом случае амплитуда вынужденных колебаний

 

А      h          .

k 2  p2

Амплитуда вынужденных колебаний

Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний А от частоты р возмущающей силы. Для этого введем статическое отклонение Ао  точки М от начала координат О под действием постоянной силы Н

 

А   H   h .

0          c          k 2

 

Отношение  ŋ  амплитуды  вынужденных  колебаний  АВ   к  величине  Ао    называется

коэффициентом динамичности:

при р < k:

2

 

=

 

2              2

 
  АВ        k          1          ;

2

 

0

 
p2

 

 

при р > k имеем:

А         k   p     1

k

 

2

2

 
  АВ        k

1          .

=

 
2          p2

2

 

0

 
А         p   k     1

k

 

Результирующее движение точки определяется уравнением:

 

h                   p                   h

x  x0cos(kt)  x0sin(kt)            2          2   sincos(kt)  ...     cossin(kt )              2          2  sin( pt   ).

k   p     k          k   p

(1.21)

         

 

Согласно уравнению (1.21), движение точки М можно рассматривать как результат сложения трех ее движений:

1) свободных колебаний точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы, отклонении точки из положения покоя на расстояние х0 и сообщении ей начальной скорости v0, проекция которой на ось х равна х0:

2)         x( 1 )   x0 cos(kt)  x0 sin(kt);

3) колебаний, имеющих тоже частоту k, но вызванных действием на точку возмущаю-

щей силы:

 

x ( 2 )   

h

k 2    p 2

 

sin cos ( kt ) 

h cos sin ( kt );

k

 

4) вынужденных колебаний точки, частота которых равна частоте возмущающей силы р:

 

x( 3 )

         h

k 2   p 2

 

sin( pt   ).

 

 

Явление биений

При частоте возмущающей силы, близкой к частоте свободных колебаний точки, наступает  явление,  называемое  биениями.  Полагая  в  уравнении  (1.22)  хо = 0  и   x о’ = 0, рассмотрим  колебания  материальной  точки,  вызываемые  лишь  действием  возмущающей силы:

x= x (2) +

x(3) ;

 

и имея в виду, что p/k≈1 и (p+k)/2≈p, получаем:

 

x       2h

k 2   p 2

 

sin ( p  k)

 

t 

cos( pt   ).

2 

 

 

(1.22)

Уравнение (1.22) определяет движение точки, являющееся результатом наложения дополнительных колебаний, вызванных действием возмущающей силы, на собственно вынужденные колебания в случае p≈k.

Обозначим:

 

 

A(t) 

 

2h

k 2  p2

 

t

 
         

sin ( p  k)       .

         2 

 

Тогда уравнение (1.22) примет вид

 

x=A(t)·cos (pt+δ).        (1.23)

 

Движение, определяемое уравнением (1.23), можно рассматривать как колебания частоты p и периода τ = 2π/p, амплитуда которых A(t) является периодической функцией. Период изменения амплитуды:

TА= 4π(p – k).

Так как p≈k, то период TА велик по сравнению с периодом τ = 2π/p.

 

Явление резонанса

Явление резонанса возникает при совпадении частот вынужденных и свободных колебаний точки: p = k.

В этом случае амплитуда вынужденных колебаний точки равна бесконечности и многие выражения теряют смысл. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (1.19) при p = k принимает вид

x + k2x = h·sin(kt + δ). (1.24)

 

Общее решение дифференциального уравнения (3.24):

 

x=C1cos(kt)+ C2sin(kt)+ h/(2k)·tsin(kt + δ – π/2).       (1.25)

 

Уравнение   (1.25)   показывает,   что   движение   точки   М   при   резонансе   является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний точки так же, как и при р ≠ k.

Свободные колебания определяются уравнением:

 

 
х* = C1cos(kt)+ C2sin(kt).

 

Вынужденные           колебания       при      резонансе       определяются уравнением:

 

x**  

 

ht                   

sin kt          .

2k                 2 

 

 

(1.26)

 

 

Рис. 1.11, а

 

Частота  и  период  вынужденных  колебаний  при  резонансе равны частоте k и периоду T = 2π/k свободных колебаний точки.

 

Фаза вынужденных колебаний kt+δ–π/2 отстает от фаз возмущающей силы kt+δ на величину π/2.

Амплитуда   вынужденных   колебаний   при   резонансе   возрастает   пропорционально времени (рис 1.11, б).

Рис. 1.11, б

 

График вынужденных колебаний точки при резонансе показан на рис. 1.11, а.

 

Примеры задач на вынужденные колебания

Пример 1. Определить вынужденные колебания мотора весом G = 15 кН, помещенного посередине  двух  положенных  рядом  двутавровых  балок  № 30  с  моментами  инерции поперечного сечения J = 8881 см4 и пролетом l = 10 м (рис. 1.12), пренебрегая весом балок и считая их свободно лежащими, если эти колебания вызываются равномерным вращением вала  мотора,  на  котором  укреплен  груз  весом  G1 = 4  Н  на  расстоянии  r = 5  см  от  оси вращения, если угловая скорость вала ω = 25 с–1.

 

 
Решение. По известной формуле из курса сопротивления материалов определяем статический прогиб упругих балок, свободно     лежащих     на     двух     опорах     и     нагруженных

сосредоточенной  силой  G ,  приложенной  в  середине  пролета:

Gl 3

fст  

.

48  E  J

 

Рис. 1.12

Здесь Е = 2·107 Н/см2 – модуль упругости стали,

2J  =  2·8881 см4   –  суммарный  момент  инерции  поперечного  сечения  двух  балок,

поддерживающих мотор.

Частота  свободных  колебаний  мотора  на  упругой  балке  определится  по  формуле:

k=(c/m)1/2.

Направим ось у вниз по вертикальной траектории колебательного движения точки М мотора, лежащей на оси вращения вала. Начало координат О совместим с положением покоя точки, соответствующим статическому прогибу балки.

Центробежная сила инерции Фω  груза М1  приложена к связи, т. е. к мотору. Ее проек-

ция на ось у изменяется по гармоническому закону: Фωy= Фω sin(ωt).   

Таким  образом,  на  мотор  действует  вертикальная  возмущающая  сила  Q ,  проекция

которой на ось у равна: Qy= Фωy .  

Восстанавливающей   силой   является   сила   упругости   балок           P ,   модуль   которой

пропорционален прогибу балок fст + у, а проекция на ось у равна: Py= –c(fст+у).        

и Q :

Составим дифференциальное уравнение движения мотора под действием сил  P ,  G

m y =ΣYi=–c(fст+у)+G+ Фω  sin(ωt).

 

Полученное уравнение имеет вид

x + k2х = h·sin(pt+ δ),

где δ = 0; p =ω; h = m1rω2/m = G1rω2/G.

Так как p = ω = 25 с–1, а k = 33,4 рад/c, то имеем вынужденные колебания малой частоты.

Амплитуда вынужденных колебаний мотора определяется по формуле

AB=h/(k2 – p2)= 0,0017 см.

 

Уравнение вынужденных колебаний мотора на упругих балках имеет вид

y = AB·sin(ωt),

т. е.

y = 0,0017sin(25t) (см).

 

Пример 2. По условию предыдущего примера найти угловую скорость вала мотора,

при которой возникает резонанс.

Решение. Резонанс возникает в случае, когда частота вынужденных колебаний р равна частоте свободных колебаний точки k. Эта частота называется критической: pкр=k.

Так как в рассмотренном примере 1 частота вынужденных колебаний мотора равна

угловой скорости вращения его вала, то критическая угловая скорость вала определяется:

 

ωкр = pкр= k = 33,4 рад/с.

 

Выразив угловую скорость в об/мин, получим

 

nкр = 30·ωкр/π = 319 об/мин.

 

Влияние сопротивления движению на вынужденные колебания

Рассмотрим    влияние          сопротивления          движению      на        вынужденные            колебания материальной  точки,  полагая  модуль  силы  сопротивления  пропорциональным  первой

степени скорости точки. Рассмотрим материальную точку, совершающую прямолинейное

движение       под      действием      восстанавливающей силы   P ,        возмущающей            силы   Q ,

         

изменяющейся по гармоническому закону, и силы сопротивления

R  v . Направим ось х

по   траектории   точки   М,   поместив   начало   координат   О   в   положение   покоя   точки,

соответствующее недеформированной пружине.

Определим проекции сил  P , Q  и  R  на ось х в момент времени t, когда движущаяся

точка  М  имеет  координату  х.  Проекция  восстанавливающей  силы   P ,  направленной  к

положению покоя О, определится формулой Рх= –сх.              

Дифференциальное уравнение движения точки под действием сил P , Q и R

m x = –сх –α x +Hsin(pt+δ).

будет:

Обозначим     c/m = k2       –     квадрат     частоты     свободных     колебаний;     α/m = 2n, где п – коэффициент затухания; H/m = h – отношение амплитуды возмущающей силы к массе точки.

После преобразований при этих обозначениях дифференциальное уравнение движения точки примет вид

x +2n x +k2x=h·sin(pt+δ).        (1.27)

 

Уравнение  (1.27)  представляет  собой  дифференциальное  уравнение  вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению, пропорционального скорости.

Общее решение уравнения (1.27) в зависимости  от соотношения величин k и n будет следующим:

1) при n<k

 

x  Ae  nt sin( t

 

2) при n>k

 

x  Ae  nt sh( t

 

3) при n=k

 

k 2   n 2    ) 

 

n 2   k 2    ) 

h

k 2   p 2 2   4n 2 p 2

 

h

k 2   p 2 2   4n 2 p 2

sin  pt     ;

 

sin  pt     ;

 

(1.28)

 

(1.29)

 

x  e

 

 nt

 

(C 1t  C 2 ) 

h

k 2   p 2 2   4 n 2 p 2

2np

sin  pt     ;

 

(1.30)

tg( ) 

 

sin( ) 

k 2  p2  ;

2np      .

 

(1.31)

k 2  p 2 2   4n2 p 2

 

Затухающие колебания

Величины A и β в уравнениях (1.28) и (1.29), а также величины С1  и С2  в уравнении

 

 
(1.30),  которые          являются        постоянными интегрирования,

определяются по начальным условиям движения.

Движение материальной точки под действием восстанавливающей и возмущающей сил и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости точки, представляет собой наложение собственно вынужденных колебаний на затухающие колебания при п < k или наложение вынужденных  колебаний  на  апериодическое  движение  при n ≥ k.  Наличие  множителя  e-nt   в  членах,  соответствующих затухающим колебаниям или апериодическому движению, обусловливает быстрое затухание этих движений.

Поэтому при установившемся режиме, т. е. через доста-

точно большой промежуток времени после начала движения,

результирующее движение точки практически состоит только из собственно вынужденных колебаний, определяемых уравнением:

Рис. 1.13

 

x **  

 

 

k 2  

 

h

p 2 2    4 n 2 p 2

 

sin  pt     .

 

На рис. 1.13 показан график движения точки в случае, когда п < k.

 

1. Исследование вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению.

Уравнение

 

x 

 

h

k 2   p 2 2   4n 2 p 2

 

sin  pt     

 

 

(1.32)

показывает, что вынужденные колебания материальной точки при сопротивлении среды, пропорциональном скорости точки, являются гармоническими колебаниями, так как амплитуда их не изменяется с течением времени, т. е. вынужденные колебания под влиянием сопротивления не затухают. Они не затухают потому, что возмущающая сила все время поддерживает колебательное движение точки.

Этим  вынужденные  колебания  существенно  отличаются  от  свободных  колебаний,

которые затухают даже при самом незначительном сопротивлении.

2. Частота и период вынужденных колебаний.

Частота   р   и   период   T = 2π/p   вынужденных   колебаний   точки   при   наличии сопротивления равны частоте и периоду изменения возмущающей силы, т. е. сопротивление

не влияет на частоту и период вынужденных колебаний.

3. Фаза вынужденных колебаний.

Фаза вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления (pt+β – ε) отстает от фазы возмущающей силы (pt + β) на величину ε, называемую сдвигом фазы и определяемую формулами (1.31).

Если p = k, то при любом значении коэффициента затухания п, tg(ε) = ∞; т. е. ε = π/2.

4. Амплитуда вынужденных колебаний.

Амплитуда вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления определяется по формуле

 

Ас 

h          .

k2  p2 2 4n2 p2

Из этой формулы следует, что большей величине сопротивления среды, т. е. большему значению коэффициента затухания n, соответствует меньшая величина амплитуды вынужденных колебаний Ас.

Таким  образом,  влияние  сопротивления  на  вынужденные  колебания  материальной

точки выражается в сдвиге фазы колебаний по отношению к фазе возмущающей силы и в уменьшении амплитуды колебаний по мере увеличения сопротивления.