Название: Теоретическая механика Ч.2 (Манжосов, В. К.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1448


1.1.1. динамика свободной материальной точки

 

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах

Рассмотрим движение материальной точки М массой т под действием приложенных к

      

ней сил

P1 , P2 ,..., Pn . Выберем прямоугольную систему осей координат х, у, z.

Основное уравнение динамики имеет вид

                  

mw  P1  P2  ...  Pn .

(1.1)

Из кинематики известно, что проекция ускорения точки на каждую ось декартовых координат равна второй производной по времени от соответствующей координаты точки, т. е., проектируя обе части векторного равенства (1.1) на координатные оси, получаем:

 

..

m x  X 1  X 2   ...  X n    X i

..

m y  Y1   Y2   ...  Yn   Yi

..

m z  Z1   Z 2   ...  Z n    Z i

 

,           (1.2)

         

где X1, Y1 , Z1; ...; Xn, Yn, Zn – проекции сил

P1 , P2 ,..., Pn  на оси x, y, z.

 

 
Уравнения (1.2) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки.

 

Естественные уравнения движения материальной точки

Спроектируем обе части векторного равенства (1.1) на естественные координатные оси (подвижные) – касатель- ную, главную нормаль и бинормаль (рис. 1.3):

Проекции ускорения на касательную и главную нормаль определяются по формулам из кинематики, т. е.

 

Рис. 1.3

 

md 2 s     

dt 2

 

2          

  Pi  cos Pi , ;

 

mv          P cos P , n .

 

(1.3)

p          i           i

Из   кинематики   известно,   что   вектор   ускорения      w

лежит   в   соприкасающейся

плоскости, и сумма проекций всех сил, приложенных к точке, на бинормаль равна нулю:

         

 Pi  cos( Pi , b )  0 .

 

Уравнения  (1.3)  называются  естественными  уравнениями  движения  материальной точки. Этими уравнениями удобно пользоваться в случае, когда известна траектория точки.

 

Две основные задачи динамики точки

При  помощи  дифференциальных  уравнений  движения  точки  можно  решать  две основные задачи динамики точки.

Первая задача динамики. Зная массу точки т и уравнения ее движения: x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t), найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке.

Эта задача легко решается следующим путем:

 

X  mx ,

Y  my ,

Z  mz ,

P       X 2   Y 2   Z 2  ,

 

              

cos(P, i )  X ,

P

cos(P, j )  Y ,

P

cos(P, k )  Z .

P

Вторая задача динамики. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу т, а также начальное положение точки и ее начальную скорость, получить уравнения движения точки.

Для решения этой задачи необходимо в левую часть уравнений (1.2) подставить значение массы т, а в правую часть – суммы проекций приложенных сил и полученные уравнения дважды проинтегрировать по времени. Эта задача имеет большое практическое значение и в общем случае является более сложной, чем первая.

При интегрировании каждого дифференциального уравнения движения точки появляются две постоянные, а потому при интегрировании трех дифференциальных уравнений движения точки будет шесть постоянных. Значения этих постоянных определяют по начальным условиям движения: значениям трех координат точки и проекций ее скорости на три оси в некоторый момент времени, обычно (но не обязательно) в начальный момент.

 

Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха

Рассмотрим движение тела М, падающего на поверхность Земли с высоты Н, полагая вес тела G постоянным.

Пренебрегая размерами тела, будем считать его материальной точкой. Сначала рассмотрим падение тела в пустоте, т. е. без учета сопротивления воздуха.

Направим ось у по траектории прямолинейного движения тела в сторону его движения и примем за начало координат начальное положение тела. Если начальная скорость тела равна нулю, то начальные условия рассматриваемого движения будут иметь вид

 

t = 0,   y0 = 0,

 

y 0   0 .

 

Уравнения, характеризующие свободное падение тела, примут вид

 

y   gt ,

 

gt 2

y       .

2

 

(1.4)

 

Законы  свободного  падения  тела,  выраженные  этими  уравнениями,  были  впервые экспериментально установлены Галилеем:

1. Скорость свободно падающего тела пропорциональна времени падения (1.7).

2. Пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадрату времени падения.

Пользуясь  уравнением  (1.4),  можно  определить  время  свободного  падения  тела  с высоты Н:

gt 2

H      H  ,

2

 

tH  

 

2H . g

 

 

Движение тела, брошенного под углом к горизонту,

без учета сопротивления воздуха

Определим  движение  тела  М,  брошенного  под  углом        к  горизонту  с  начальной

скоростью v0 , пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая тело за материальную точку

(рис. 1.4).

Рис. 1.4

 

Совместим начало координат О с точкой вылета тела, направив ось х по горизонтали вправо, а ось у – вверх по вертикали.

Тогда получим начальные условия движения

 

t = 0, x0 = 0, y0 = 0,

x0   v0 x   v0 cos ,

y 0   v0 y   v0 sin  ;

 

x  v0 cos ,  (1.5)

 

x  v0 t cos .            (1.6)

 

Уравнения (1.5) и (1.6) показывают, что проекция скорости тела на горизонтальную ось постоянна и горизонтальное перемещение тела совершается по закону равномерного движения со скоростью v0 cos α, т. е. по инерции.

y  v0 sin   gt ,          (1.7)

 

gt 2

y  v0t sin  

.           (1.8)

2

Уравнения (1.7) и (1.8) показывают, что вертикальное движение тела является равнопеременным. При подъеме оно замедленное, так как направления вертикальной составляющей скорости и ускорения силы тяжести противоположны, а при спуске – ускоренное, так как эти направления совпадают.

Исключим время t из уравнений движения тела (1.6) и (1.8), получим уравнение траектории:

 

y  xtg 

gx 2

.

0

 
2v 2 cos 2 

 

Траектория   представляет   собой   параболу   с   вертикальной   осью   и   вершиной   в наивысшей  точке.  Форма  траектории  тела,  движущего  в  пустоте  под  действием  силы тяжести, была впервые установлена Галилеем.

Определим скорость движения тела по траектории способом проекций:

 

v       v 2   v 2   

v  cos 2   v

sin   gt 2   .

x          y          0          0

 

Эта      формула          показывает,    что      движение,      полученное    сложением     равномерного горизонтального и равнопеременного вертикального движений, не является равнопеременным.

Определим дальность и продолжительность полета тела.

В точке М4 падения тела на землю y4 = 0.

Продолжительность полета определим из уравнения (1.8) при y = 0,

 

Отсюда получим момент вылета t = 0 и момент падения t4

 2v0 sin  .

g

Дальность полета определим, подставив значение t4 в уравнение (1.6):

v  cos  2v

sin     v 2

L  x

  0     0                   0          .           (1.9)

4          g          g sin 2 

 

Формула (1.9) показывает, что дальность полета тела при одной и той же скорости вылета тела v0  зависит от угла α. Очевидно, что наибольшая дальность полета наблюдается при sin2 α =1, т. е. при α = 45°.

Наибольшую высоту подъема тела при заданной начальной скорости v0 и угле α можно определить из условия, что в наивысшей точке М2  проекция скорости на вертикальную ось равна нулю:

 

v2 y   y 2   v0 sin   gt2   0,

 

 

H  y2

 

v2 sin 2

  0

2 g

 

 .       (1.10)

 

Движение материальной точки под действием силы тяжести является примером движения под действием силы, постоянной по модулю и направлению.

 

Движение падающего тела с учетом сопротивления воздуха

Рассмотрим влияние сопротивления воздуха на движение тела, падающего на землю.

Положим, что тело М весом G движется вниз без начальной скорости из точки О, принятой за начало координат. Ось у направим вертикально вниз. Тогда начальные условия движения будут иметь вид

t = 0; y0 = 0;

y0   0.

 

Рассмотрим падение тела при сопротивлении воздуха, пропорциональном скорости движения    тела.    Тогда    силу    сопротивления    можно    представить    в    виде    R = av, где α – коэффициент пропорциональности.

Обозначим α

m  k .

Коэффициент k равен модулю силы сопротивления  воздуха, приходящейся на единицу массы движущегося тела при скорости его, равной единице, и имеет размерность (с–1).

 

 
Составим дифференциальное уравнение движения тела под действием силы тяжести G и силы сопротивления воздуха R:

 

тy  G  R  mg  mkv ,

 

решая  которое           получим         уравнение      движения падающего тела с учетом сопротивления воздуха:

 kt

y  gt  g (1  e   ) .

Рис. 1.5

k          k 2

 

Пример интегрирования дифференциальных уравнений движения точки для случая силы, зависящей от времени

Пример. На точку М массой m = 2 г действует горизонтальная сила  P , остающаяся параллельной   некоторой   прямой   и   имеющая   величину   Р = 2cos(5t)   мН.   Определить

0

 
движение точки М в горизонтальной плоскости, если в начальный момент скорость точки v

была перпендикулярна к направлению силы P

и имела модуль vo= 10 см/с.

Решение.   Примем   начальное   положение   точки   за   начало   координат   (рис. 1.5).

0

 
Направим ось х вдоль начальной скорости точки v , а ось у – параллельно линии действия

силы P .

Тогда начальные условия движения будут следующими:

 

t =0; х0 = 0; у0 = 0;

 

x0 = vQ = 10 см/с;

 

y0 = 0.

 

Единственной  силой,  действующей  на  точку  в  горизонтальной  плоскости,  является заданная сила P , параллельная оси у.

Составим два дифференциальных уравнения движения точки:

тx   Х i   0; тy  Yi   P.

Из первого дифференциального уравнения

x = 0.

 

Проинтегрировав это уравнение дважды по t, получим:

x = C1; x=C1t+C2.

Подставив в первое уравнение проекцию начальной скорости  x = 10 см/с,  получим

С1= 10.

Подставив во второе уравнение t = 0, хо = 0, получим С2 = 0.

При этих значениях С1 и С2 для движения точки вдоль оси х:

x = 10 см/с;     х=10t (см).

Получим второе дифференциальное уравнение, выражая массу точки в граммах, а силу

Р в динах:

y = 100cos(5t).

Проинтегрировав его дважды по t, получим:

y  = 20sin(5t); y = –4cos(5t) + C3t + C4.

Подставив в первое уравнение t = 0, уо = 0, найдем С3 = 0.

Подставив во второе уравнение t = 0, уо= 0, получим: 0 = –4 + С4, откуда С4 = 4.

При найденных значениях С3 и С4 для движения точки вдоль оси у

y  = 20sin(5t) (см/с),

у = 4(1 – cos5t) (см).

Чтобы получить уравнение траектории точки, исключим время из уравнений ее движения:

t = x/10; y = 4(1 – cos(x/2)).

 

Пример интегрирования дифференциального уравнения движения точки для случая силы, зависящей от положения точки

Пример. Материальная точка М массой т = 20 г отталкивается от некоторого центра О c силой, обратно пропорциональной кубу расстояния ОМ. В начальный момент известны: расстояние ОМ = 5 см, скорость точки v0 = 10 см/с, направленная по прямой ОМ от центра О, и сила отталкивания P = 0,4 мH.

Получить уравнение движения точки под действием силы отталкивания, а также определить скорость, приобретенную точкой на расстоянии 20 см от центра О.

Решение. Центр отталкивания О примем за начало координат, ось х направим по прямой, соединяющей этот центр с движущейся точкой М.

Установим начальные условия:

t = 0, x0=OM0=5 см; x 0 = v0 = 10 см/с.

На точку действует сила отталкивания  P , направленная по оси х. Модуль этой силы обратно пропорционален кубу расстояния ОМ, т. е. P = k/x3.

Значение  коэффициента  k  можно  определить  по  условию,  что  при  x0 = 5 см  сила отталкивания Р0 = 0,4 мH = 40 дин:

k = 5000 г·см4/с2.

Составим дифференциальное уравнение движения точки М:

m x =ΣXi=P = k/x3;

Преобразовав и разделив переменные, получим: mv·dv=(k/x3)·dx.

При интегрировании уравнения воспользуемся определенными интегралами с переменным верхним пределом. При изменении скорости от v0 до v координата точки изменяется от х0 до х. Тогда, преобразовав, получим:

0

 
mv2/2 – mv02/2 = k/2(1/x 2

– 1/x2).

Подставив числовые значения k, m, v0, получим

v = (110 – 250/x2)1/2.

Полученное выражение определяет скорость v точки в зависимости от ее координаты х.

Из этого уравнения можно найти искомое значение скорости при х = 20 см:

v = (10,46)1/2 см/с.

Заменим v = dx/dt и, разделив переменные, проинтегрируем левую часть в пределах от xо = 5 до x, а правую – в пределах от t0 = 0 до t и, преобразовав, получим:

x2 – 25/11=250/11 + 100t + 110t2.

Отсюда получим уравнение движения точки:

x = (25 + 100t + 110t2)1/2 (см).