Название: Курс лекций по физике Ч.2 (Климовский А.Б.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1422


Тема: магнитное поле в вакууме

 

Вопросы:

1. Магнитное поле и его характеристики. Источники магнитного поля.

2. Принцип суперпозиций магнитных полей. Вектор индукции магнитного поля.

Способы определения индукции магнитного поля в вакууме. Закон Ампера.

3. Вращение контура с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент контура с током.

4. Закон Био–Савара и его применение для расчета магнитных полей.

5. Магнитное поле кругового контура с током.

6. Магнитное поле прямолинейного проводника.

7. Магнитное поле соленоида.

8. Взаимодействие прямолинейных проводников с током.

9. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца.

10. Явление Холла.

11. Циркуляция вектора магнитной индукции. Закон полного тока.

12. Магнитный поток. Теорема Гаусса.

13. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея для ЭДС магнитной индукции.

Правило Ленца.

14. ЭДС индукции при вращении контура с током в магнитном поле.

Электрический генератор.

15. Явление самоиндукции и взаимоиндукции. Понятие об индуктивности.

16. Энергия магнитного поля.

17. Изменение силы тока в цепи при подключении и отключении источника.

 

В 1820 г. датский физик Ханс Эрстед (H. Ørsted, 1777–1851) показывал студентам тепловое действие тока. При включении тока отклонилась стрелка случайно оказавше- гося рядом компаса. Описание этого опыта вызвало лавину новых открытий. Так роди- лась новая область физики – электродинамика.

Частью  электродинамики  (электромагнетизма)  является  м а г н и т о с т а т и к а , изучающая не изменяющиеся во времени (стационарные, или постоянные) магнитные поля, с которых мы начнем наше рассмотрение.

М а г н и т н о е  п о л е – силовое поле (подобное гравитационному или электриче- скому), окружающее токи и постоянные магниты. Магнитное поле не действует на неподвижные заряды, оно может создаваться только движущимися зарядами и дейст- вует только на движущиеся заряды.

 

Магнитные силы, действующие со стороны магнитного поля на движущиеся за- ряды, могут:

–          искривлять их траекторию (если заряд движется в свободном пространстве);

–          отклонять проводник (если заряды движутся в проводнике);

–          поворачивать контур (если проводник образует замкнутый контур).

 

Все объекты, на которые действует магнитное поле:

         движущиеся заряды,

         проводники с током,

         контуры с током,

         постоянные магниты,

а также

         изменяющееся электрическое поле,

являются источниками магнитного поля.

Последний источник мы упоминаем пока лишь для полноты картины, говорить о нем будем в самом конце темы, когда будет идти речь об электромагнитной индукции. Пока рассмотрим только первые четыре источника.

 

Для описания магнитного поля нужно ввести его характеристики. Естественно это сделать так же, как, например, в электричестве, по силовому действию поля. Сделать это можно несколькими способами. В качестве объекта, на который действует сила со стороны магнитного поля, можно выбрать любой из объектов или движущийся заряд, или проводник с током, или контур с током, или магнит. Принципиальной разницы нет. Обычно используют какой-нибудь из первых двух способов. Мы рассмотрим оба и по- кажем их равнозначность.

 

Воспользуемся  сначала  первым  способом  –  рассмотрим  движущийся  заряд.

На заряд, движущийся в магнитном поле, будет действовать сила, которую будем на-

зывать магнитной силой

FM . Экспериментально установлено:

         

            вектор силы перпендикулярен вектору скорости ( FM V );

            если изменить направление скорости заряда, то сила изменит свое направле- ние, но при этом останется перпендикулярной некоторому направлению, сов- падающему с направлением магнитной стрелки, помещенной в точку, где на- ходится заряд;

            если изменить величину заряда, то сила по величине пропорциональна вели- чине заряда q ( FM  ~ q );

 

            если изменить модуль скорости, то величина силы пропорциональна скорости его движения V ( FM  ~ V ).

При  изменении  условий  опыта, измеряя  величину силы,  действующей  на заряд  q ,

FM

можно убедиться, что отношение

 

Vqsin α

не зависит от величин q , V  и угла  меж-

ду направлениями скорости и магнитной стрелки и принимает определенные значения в каждой точке пространства.

Исходя из этого, для описания магнитного поля введем некоторый вектор, назы-

ваемый в е к т о р о м  м а г н и т н о й  и н д у к ц и и   B , который является силовой ха-

рактеристикой магнитного поля. Направлением вектора B

выбирается направление

магнитной стрелки (которому перпендикулярна сила

FM , действующая на движу-

B =            FM

qV

sin α

 

 

 
щийся заряд) в ту сторону, куда направлен ее северный конец. Величину магнитной индукции в данной точке пространства определим так:

 

.

 

                           

           

 

Учтем, что

FM  B

 

и, кроме того,

FM  V , то, следовательно,

FM  V , B ,

               

где       V , B

 

–          векторное       произведение            векторов         V

 

и          B ,        и          его       модуль

   

V , B

 

 VB sin  .

Суммируя все перечисленное, можно записать

            

FМ   kqV , B ,

где k – коэффициент пропорциональности.

Поскольку индукция магнитного поля является новой физической величиной, и

для нее нет единицы измерения, то выберем единицу измерения индукции магнитного

поля так, чтобы коэффициент пропорциональности был равным единице

k  1 .

Тогда, используя введенную характеристику магнитного поля – индукцию маг-

         

нитного поля B , для силы, действующей на заряд q , движущийся со скоростью V

в магнитном поле, получим выражение

           

FM   qV , B .

 

Эту силу, называют м а г н и т н о й  с и л о й  Л о р е н ц а (H. Lorentz, 1853–1928),

или иногда ее называют магнитной составляющей силы Лоренца. В последнем слу-

                    

 

чае с и л о й  Л о р е н ц а  называют силу

F  qE  qV , B , действующую на движу-

щийся заряд в электрическом и магнитном полях.            

По определению векторного произве-       FM

дения  –          модуль            магнитной      силы            

FM   qVBsin α , где α – угол между век-    V         V

+

 

торами V

         

и B . Направлена магнитная сила    B

перпендикулярно  к  плоскости,  в  которой          

лежат векторы V

                  B

и  B . Заметим, что если       FM

 

заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением векторного произ-

      

ведения  V , B . В случае отрицательного заряда  q , направления векторов  FM   и

  

V , B

 

противоположны.

Как мы видим, предложенное определение вектора индукции магнитного поля полностью согласуется с экспериментом.

Перейдем ко второму способу определения индукции магнитного поля  B

 

– рас-

смотрим прямолинейный проводник длиной l , по которому течет ток силой  I . Экспе- риментально установлено, что на проводник в магнитном поле действует магнитная

сила

FA , которая

            пропорциональна силе тока ( FA ~ I ),

            пропорциональна длине проводника ( FA ~ l ),

         

            перпендикулярна проводнику ( FA  l ),

            при изменении ориентации проводника с током перпендикулярна некоторо- му направлению, совпадающему с ориентацией магнитной стрелки.

 

Таким образом, сила, действующая на проводник с током, называемая с и л о й

А м п е р а  (A. Ampere, 1775–1836), пропорциональна силе тока и длине проводника, а

по направлению перпендикулярна   l

и  B . Направление индукции определим так же,

как в первом случае, а величину индукции определим из выражения

           

FA   I l , B ,

        

где l , B

– векторное произведение и   l , B

 

 lB sin α .

 

 

Не будем обсуждать детали второго определения, сразу покажем эквивалентность

двух определений. Сила, действующая на проводник

FA , должна быть равна сумме сил

FM , действующих на все заряды, протекающие по проводнику.

Рассмотрим  участок  проводника длиной  dl ,  пло-

dl         щадью  поперечного  сечения  проводника  S ,  с  концен-

q

 
         трацией  n  зарядов  q , которые движутся со скоростью

V         V . Тогда суммарная сила, действующая на все заряды

участка проводника dl , будет равна

S          n                     

 FM

 qdnV , B ,

где

dn  n  S  dl

– количество зарядов на участке проводника  dl , а  qdn – суммар-

           

 

ный движущийся заряд на этом участке проводника. Тогда

 FM

 nSdlqV , B ,

                             

 

учитывая, что

j  qnV

– плотность тока, получим  FM

 Sdlj , B .

                  

Если    ввести вектор

dl ,       такой,  что

dl 

j  dl

 j ,     то        можем записать

               I

 FM

 Sjdl , B

 

. По определению плотность тока

 

j        . Тогда суммарная маг-

S

нитная сила, действующая на участок проводника, будет равна

 

            

 FM

 I dl , B .

Это и есть сила Ампера, действующая на участок проводника  dl

с током силой

I , помещенный в магнитное поле с индукцией  B

под углом  между отрезком про-

водника dl

и магнитной индукцией B ,

            

 

 

Величина силы

 

dFA

 

 I dl , B .

dFA  

dFA

 IBdl sin α .

Величину магнитной индукции этим способом можно определить, например, как

B  FA max   ,

Idl

где

FA max

– максимальная сила, действующая со стороны магнитного поля на участок

dl проводника с током.

 

Оба определения совершенно эквивалентны. Обе силы – сила Лоренца (магнит- ная составляющая силы Лоренца) и сила Ампера – в принципе являются одной и той же силой, только первая – это сила, действующая на один движущийся заряд, а вторая

– на все заряды в участке проводника.

 

Мы получили пока выражение для силы Ампера, действующей на участок про- водника бесконечно малой длины dl .

Рассмотрим прямолинейный проводник с током конечной длины, по которому

протекает ток постоянной силы I , помещенный в однородное магнитное поле B

(оди-

наковое во всех точках пространства). На проводник действует сила, равная сумме сил,

действующих на каждый бесконечно малый участок проводника,

 

                                            

FA   dFA    I dl , B I  dl , B

 

или

FA   I l , B .

 

Подчеркнем,  что  полученное  выражение  справедливо  только  для  прямолинейного

проводника при

B  const ,

I  const .

 

Суммарная сила Ампера, действующая на замкнутый контур с постоянным то- ком ( I  const ), помещенный в однородное магнитное поле, будет равна нулю

                  

FA  I  dl , B

 

 0 .

 

Это значит, что сила Ампера не может передвинуть замкнутый контур.

При этом силы, действующие на отдельные участки контура, не будут равны ну- лю. Они будут сжимать или растягивать замкнутый контур. Кроме того, силы, прило- женные к различным участкам контура, могут его поворачивать. Если суммарный мо- мент сил будет равен нулю, тогда контур будет только сжиматься либо растяги- ваться, если не равен – то в этом случае будет поворачиваться.

 

Поместим в однородное магнитное поле  B

 

 

рамку с током. Для простоты рас-

смотрим квадратную рамку (которая расположена перпендикулярно плоскости рисун-

ка) со сторонами длиной l . В верхней стороне рамки ток (на рисунке) направлен «на

         нас», что принято изображать точкой в кружочке F2                   (символическое изображение наконечни- ка стрелы, направленного на нас). В нижней – «от

d1        нас», что изображается крестиком в кружочке 

         (символическое  изображение  оперения  стрелы,

         направленной  от  нас).  Силы,  действующие  на

B          стороны  квадрата,  параллельные  плоскости  ри-

сунка, будут растягивать контур, но не будут его

d

 
         поворачивать.

2

         

F1        p m

Поворот рамки будут обеспечивать силы  F1

и  F2 , действующие на стороны контура, перпен-

дикулярные плоскости рисунка. Вращающий момент этих сил

l

M  F1d1   F2 d 2 , где

d1 и d 2

– плечи сил ( d1  d2  2 cosφ ).

Силы, действующие на стороны контура, являются силами Ампера. По величине

 

они равны

 

F1  F2   IlB , следовательно,

M  2IlB l cosφ . Так как

2

 

l 2  S

 

– пло-

щадь  плоской  поверхности,  ограниченной  контуром,  то

M  ISBcosφ ,  причем

cosφ  sin α , где  φ  – угол между плоскостью контура и

 

 

вектором  B , а α – угол между нормалью к плоскости кон-

тура и B .

 

Направление   нормали   выбирается   п о    п р а в и л у п р а в о г о   б у р а в ч и к а : за положительное направление нормали принимается направление поступательного движе- ния буравчика, который вращается в направлении тока, те- кущего в рамке.

Для контура с током вводят  м а г н и т н ы й  м о м е н т

pm   ISn

– это вектор,

который по направлению совпадает с нормалью к контуру  n и по величине  равен

pm   IS . Тогда величина вращающего момента

M  pm B sin α . Вектор вращающе-

                  

 

го момента

M  pm B .

 

Полученные для квадратной рамки выражения для магнитного момента

p m   и

вращающего момента  M

справедливы для любого плоского контура.

 

Заметим, что, как мы уже говорили, по вращающему действию магнитного поля также можно определить индукцию магнитного поля. Например, так

 

M

 
B       max  .

pm

 

Заметим,  что  если  проводник  представляет  собой  катушку,  содержащую  не- сколько витков, то магнитный момент катушки будет равен сумме магнитных момен-

тов всех витков. Величина магнитного момента

pm  для катушки с N витками равна

pm   NIS

, где S – площадь витка.

 

 

 

2

 

F

 
Рамка с током будет поворачиваться в магнитном поле  

до тех пор, пока вращающий момент не станет равным нулю.

 

В этом случае магнитный момент

p m

 

будет направлен по

 

магнитному полю, так как тогда

sin α  0 и

M  0 . Следо-

pm

вательно,  магнитное  поле  поворачивает  магнитные  мо-

менты так, чтобы они были направлены по полю.           

B

Если магнитное поле неоднородно, то суммарная сила

Ампера не будет равна нулю и контур с током будет втяги-        

ваться в область более сильного поля.       F1

 

Для индукции магнитного поля можно ввести еще одно определение на основа-

нии закона Био–Савара (J. Biot, 1774–1862, F. Savart, 1791–1841), экспериментально установленного французскими физиками в 1820 году. Индукция магнитного поля при этом вводится исходя не из силового действия магнитного поля, а через характеристики источника поля, в качестве которого выбирается бесконечно малый участок проводни-

ка с током –

Idl

, принятый в качестве элементарного источника. Это определение эк-

d

 
вивалентно предыдущим.    

По з а к о н у   Б и о – С а в а р а  индукция            B

 

 

магнитного поля элемента тока

dl определяется:

 

          0 I

 

l

 
d, r       

dB     .           dl

4       r 3

 

I                    r

Направление вектора индукции совпадает с направле-

нием движения правого буравчика при его вращении от

         A

 

вектора

dl к r в сторону меньшего угла между векто-

рами. Величина индукции будет равна

d

 

dB  μ 0 Idl sin α .      B

4πr 2

Здесь  r – вектор, проведенный от  dl  к точке, в которой определяется магнитная ин-

дукция; α – угол между векторами dl

и r ; 0   4 107

Гн/м – константа, которая

называется магнитной постоянной.

 

Закон Био–Савара является аналогом выражения для напряженности электриче-

1          q

ского поля точечного заряда в электростатике

E       . Он определяет индукцию

2

4 0  r

магнитного поля, создаваемого бесконечно малым участком (аналогом точечного заря- да в электростатике) любого проводника с током.

 

Закон Био–Савара позволяет найти индукцию магнитного поля, создаваемого лю- бым током, поскольку для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции.

П р и н ц и п   с у п е р п о з и ц и и   (наложения)   м а г н и т н ы х   п о л е й :   маг- нитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими источниками, (на- пример движущимися зарядами или участками проводника) равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым источником в отдельности

 

                           

 

         n   

B  B1  B2  ...  Bn

или

B   Bi .

i 1

 

Для бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных источников

принцип суперпозиции записывается в виде интеграла

         

B   dB .

 

Для того чтобы найти индукцию магнитного поля, создаваемую произвольным током в некоторой точке, нужно найти с помощью закона Био–Савара магнитное поле каждого участка и воспользоваться принципом суперпозиции.

Нахождение индукции магнитного поля произвольного проводника достаточно сложно. Однако, если распределение тока имеет определенную симметрию, то приме- нение закона Био–Савара позволяет довольно просто рассчитать индукцию.

Воспользуемся этим способом для нахождения магнитного поля, создаваемого простыми симметричными источниками.

 

1. Круговой виток радиусом R , по которому протекает ток силой I . Найдем ин- дукцию магнитного поля в центре витка. При выбранном на рисунке направлении тока

индукция любого элемента dl

будет направлена перпендикулярно плоскости рисунка

«на нас». Все элементы

dl проводника будут создавать магнитные поля

dB , направ-

ленные в одну сторону, тогда суммарный вектор  B

будет направлен в ту же сторону,

при этом его длина равна сумме длин векторов dB .

I                    

По принципу суперпозиции

B   dB . С учетом со-

R          dB

направленности        всех     векторов

dB ,

B

 

 

B

 
dl         B 

r

   d 

  dB .

 

μ 0  Idl

По закону Био–Савара dB  4π r 2

, так как угол α

между r        и

dl равен

90

и          sin α  1.         Тогда

dB        μ 0

Idl

. Так как

 

r  R  const , то

B  μ 0           I

 

dl , где   dl  2πR

 

– длина

           4π r 2

4π R 2 

проводника. Следовательно, магнитная индукция в центре кругового проводника ра- диуса R с током силой I  радиуса R равна

B  μ 0 I .

2R

 

2. Прямолинейный проводник длиной  l , по которому протекает ток силой  I . Найдем индукцию магнитного поля, создаваемую прямолинейным проводником на расстоянии a от него.

 

По закону Био–Савара каждый элемент длины проводника dl создает поле с маг-

 

нитной индукцией

dB  μ 0

Idl sin α

r 2

 

. Поле всех элементов будет направлено в одну

сторону (на рисунке – «на нас»). Вектор индукции суммарного поля  B

будет направ-

         

лен в ту же сторону и его длина равна сумме длин

B   dB .

 

 

 2      P

 

a

a

 

d d

r

 

E

 

  d

 

rd      D

B

 
d       r

l

1       dl

A                  dl

 

C

 

 

 

Тогда

B       μ 0

ò

 

Idl sin α

r 2

 

. Переменными под знаком интеграла являются три ве-

личины, связанные друг с другом: r , α и l . Выразим их через одну, проще всего через

 

 . Тогда

 

r  PC 

PE

sin α

         a

sin α

 

.  Из прямоугольного треугольника  ADC  находим

 

dl  DC

AD

 sin α

 rdα

sin α

 

. Подставляя r , можем записать dl 

adα

sin 2 α

 

. Тогда

α 2 μ

B    0

Iasin α  sin 2

 

α dα   μ 0

α 2       μ  I

 sin αdα      0          cosα

 

α 2   

α

 
4π        sin 2

1

α  a

2

 

μ 0 I

4πa

α1

4πa      α1

 4πa (cosα1  cos α2 ) .

 

Таким образом, для конечного участка прямолинейного проводника индукция магнитного поля на расстоянии a от проводника в точке, расположенной на пе-

ресечении прямых, идущих под углами 1 и  2

 

μ 0 I

из концов проводника, равна

B  4πa (cosα1  cos α2 ) .

 

Если   же   проводник   бесконечный,   то

 

α1  0             и

 

cosα1  1,   а

 

α2  π             и

cosα2   1, тогда индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного про-

водника равна

 

 

 

где a – расстояние от проводника.

B  μ 0 I ,

2πa

 

3. Соленоид – свернутый в спираль изолированный проводник, по которому те-

N

чет электрический ток. Соленоид характеризуют числом витков

n       , приходящих-

L

ся на единицу длины соленоида, где N – полное число витков, L – длина соленоида.

 

r

 

R

 
         1

1

 

O1       A

r        

r

 
 2      2

B          O2

l           dl



L

Магнитная индукция B

 

в любой точке  A , лежащей на оси соленоида O1O2 , на-

правлена вдоль оси по правилу правого буравчика и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей, создаваемых в точке  A всеми витками, поскольку магнитные поля витков сонаправлены.

Проведем из точки  A к какому-либо витку вектор r , образующий с осью

O1O2

угол   .   Индукция

B1  магнитного поля витка с током в точке  A       численно равна

(получить из закона Био–Савара самостоятельно)

2          2

B   μ 0  IR

1          2          r 3

 μ0

2

IR

.

R 2  l 2 3

На малый участок длины соленоида  dl  приходится  ndl  витков, создающих в точке A магнитное поле, величина индукции которого

2

dB  μ 0

2

 

Выразим переменные величины  l  и

IR

R 2  l 2 3

R 2  l 2

 

ndl .

 

 r

 

через одну переменную –

 

угол  α . Как видно из рисунка, расстояние

 

l  Rctgα , откуда

 

dl  

Rdα

sin 2 α

 

. Длина

вектора r равна r 

 

R 2  l 2

         R

sin α

 

. Тогда получим

 

μ 0       IR2  sin 3 α

 

Rdα      1

dB   2         R3

 

Следовательно,

n                μ  In sin αdα .

0

 
sin 2 α 2

 

 

B   1 μ   nI

2          0

α 2

 sinαdα .

α1        

После интегрирования найдем магнитную индукцию  B

оси соленоида

в произвольной точке

 

 

где

 

B  1 μ nI (cosα           cos α ) ,

 

 
2          0          2          1

 

2   1 . Максимальное значение индук-

ции,   достигаемое   в   центре   соленоида   при

 

cos α2

 

равно

 

  cos α1 

L / 2

L / 22  R 2

 

,           будет

 

B                   μ 0 nIL             .

2           2

 
max

4R         L