Название: Курс лекций по физике Ч.2 (Климовский А.Б.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1434


В основе этой теории лежат п о с т у л а т ы  б о р а :

 

1.  В атоме электроны могут находиться на некоторых орбитах, которые называ- ются стационарными, не излучая энергии.

2.   Атом излучает (или поглощает) энергию при переходе электрона с одной стацио- нарной орбиты на другую. Излучение (поглощение) происходит в виде светового кванта с энергией hv , равной разности энергий электрона на стационарных орби- тах, между которыми осуществляется переход электрона.

 

Для определения стационарных орбит, Бор ввел дополнительное условие – усло- вие квантования – момент импульса электрона  L на стационарной орбите может принимать только дискретные значения – только такая орбита будет стационарной

 

L  mVr 

h

2π n  n ,

 

 

где  константа

h

  2π

 

 1,05 1034 Дж  с

 

также  называется  постоянной  Планка,

здесь V – скорость электрона на орбите, r – радиус орбиты.

Это условие ниоткуда не может быть получено, оно является гениальным предпо-

ложением Бора, позволившим ему получить результаты, согласующиеся с эксперимен- том.

 

Посмотрим, что можно получить из постулатов Бора и условия квантования.  Рас- смотрим электрон в атоме водорода.

 

На  единственный  электрон  в  атоме  со стороны ядра действует сила Кулона, которая

равна

2

 
F          Сила Кулона

F       1           е  ,

4πε 0   r 2

где e – заряд электрона, которому в атоме во- дорода равен и заряд ядра,  r  – радиус орбиты

электрона.

 

По второму закону Ньютона для электрона

ma  F , причем ускорение вращаю-

V 2

щегося электрона будет центростремительным, a          .

R

mV 2    1          е2

Тогда второй закон Ньютона примет вид

r           4πε 0

 r 2 .

Похожий результат справедлив для всех атомных систем с одним электроном, ко-

торые называют водородоподобными ионами (атомами) ( He , Li   ,...).

Заряд ядра водородного атома равен  Ze , тогда для водородоподобных атомов второй закон Ньютона вместе с условием квантования образует систему из двух урав-

нений с двумя неизвестными, где  rn

– радиус  n -й стационарной орбиты и Vn

– ско-

рость электрона на n -й стационарной орбите.

1          Ze2

mV 2

4πε 0

         n    ;

r

 

n

 
2          r

n

h

mVn rn

 2π n.

 

Решая систему уравнений, найдем радиусы стационарных орбит электрона

 

2

 
r   n h

2ε 0

 

 

2

 
и скорость электрона на них

V      Ze        .

n          πmZe2

n          2nhε 0

 

o

При

n  1 и

Z  1 получим

r1  rB  0,53A – наименьший радиус орбиты – ра-

диус первой орбиты в атоме водорода, который называется  р а д и у с о м  Б о р а  или

б о р о в с к и м  р а д и у с о м .

 

Энергия электрона, находящегося на n -й орбите, складывается из его кинетиче-

ской и потенциальной энергий

En   (Eкин   Eпот )n . Эта энергия равна

 

n

 

ç

 
 mV 2   

 

÷

 
1          Ze2 

 

Z 2e4 m           1

2

 
En 

  

4πε 0   rn

  

 

0

 
8ε 2 h2

 n2 .

 

Подставив константы, можем записать

 

Z

 
En   2,17 1018 ( Дж) 

n2

 13,6 (эВ)  Z  ,

n2

где 1 эВ  1,6  10 19 Дж .

В теории Бора энергия электрона в атоме может принимать только дискретный набор значений.

 

Отметим, что теория Бора, по результатам, полученным теорией, является кван- товой теорией, а по исходным уравнениям – это классическая теория, так как ис- пользован второй закон Ньютона – закон классической механики.

 

Состояние атома, когда электрон находится на орбите с

n  1, называется о с-

н о в н ы м     с о с т о я н и е м .     Энергия          атома  водорода        в          основном       состоянии

E  13,6 эВ .

Энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы вырвать его из атома, то

есть перевести на орбиту с

n   , называется э н е р г и е й  и о н и з а ц и и . Для атома

водорода энергия ионизации Ei

 13,6 эB .

Энергия, необходимая, чтобы перевести электрон с первой орбиты на вторую, называется  э н е р г и е й    в о з б у ж д е н и я .  Энергия  возбуждения  атома  водорода Eв   Е2  Е1  10,2 эВ .

 

Энергетическая диаграмма (схема уровней энергий – энергетический спектр)

для атома водорода имеет вид

 

E

n =    0

n = 3    –1,5 эВ (3-я орбита)

n = 2    –3,4 эВ (2-я орбита)

 

 

 

Eв  10,2эВ

Ei  13,6эВ

 

n = 1    –13,6 эВ (1-я орбита)

 

Если электрон переходит с орбиты l на n , то при

n  l

атом излучает энергию

E  El

 En , если же n  l , то атом поглощает энергию E  En

 El .

По теории Бора разность энергий

            2  4

 

 

                             

 

ΔE  E   E

 Z  e

m   1

1          hc

                  ,

0

 
l           n          8ε 2 h

 n2

l 2     λ

 

будет унесена фотоном с длиной волны  , и отсюда получаем выражение для обратной длины волны

 

1          Z 2e4 m

 

ç

 

×              -

 
 1   1 

 .

0

 
λ          8ε 2ch 2

 n2

l 2 

 

Если

 

Z  1 (атом водорода), полученное выражение является обобщенной фор-

мулой Бальмера, из которой находим значение постоянной Ридберга

 

4

R       e

m          1,10 107 м1 ,

2

8ε 0ch

 

совпадающее со значением, полученным из эксперимента.

 

Спектр излучения атома водорода является экспериментальным подтверждением теории  Бора.  Другим  подтверждением  дискретности  энергий  электронов  являются о п ы т ы  Ф р а н к а  и  Г е р ц а  (J. Franck, 1882–1964, G. Hertz, 1887–1975), проведен- ные в 1913 году. (Упрощенный вариант опыта Франка–Герца, в несущественно изме- ненном виде, может быть выполнен в качестве лабораторной работы в лабораторном практикуме на кафедре физики.)

В этих опытах изучалось прохождение через газ пучка электронов, ускоренного в электрическом поле. Первые опыты были проведены с прохождением электронов через пары ртути.

Схема опыта представлена на рисунке.

 

A

 

K

С

G

 

UУ       UТ

 

Накаленный катод К , испускающий электроны, сетчатый электрод С и анод  А помещались в стеклянный сосуд, в котором находились ртутные пары при давлении около 0,1 мм рт. ст. Между катодом и сеткой создавалось электрическое поле, уско-

ряющее электроны до энергии eUУ , где UУ

– разность потенциалов между катодом и

сеткой, e – заряд электрона. Между сеткой и анодом создавалось слабое тормозящее

поле с разностью потенциалов UT

не более 0,5 В.

Электроны, встречающие на своем пути атомы ртути, могут испытывать с ними соударения двоякого рода. Первый тип соударения – упругие столкновения, в резуль- тате которых энергия электронов не изменяется, а лишь изменяется направление дви- жения электронов. Второй тип соударения – неупругие столкновения, при которых электроны теряют свою энергию, передавая ее атому ртути.

Упругие соударения электронов с атомами ртути не могут воспрепятствовать электронам попадать на анод. Ускоряющее электрическое поле между катодом и сеткой

 

по мере возрастания разности потенциалов UУ

 

должно вызывать возрастание анодного

тока в трубке, и упругие столкновения не могут нарушить этой закономерности.

В результате неупругих столкновений электроны теряют энергию. При опреде- ленных условиях они могут потерять всю свою энергию. В этом случае они не смогут преодолеть тормозящее поле, их энергии  E не хватит для совершения работы против

сил поля, если

E  eUT , и анодный ток через гальванометр G будет равен нулю.

В соответствии с постулатами Бора атом не может принять энергию в любом ко- личестве. Атом может принять лишь определенную порцию энергии и перейти в одно из возбужденных состояний. Ближайшим к основному, невозбужденному состоянию, является первое возбужденное состояние, для атомов ртути отстоящее от основного по

шкале энергий на 4,86 эВ . До тех пор, пока UУ

 4,86 В , электроны, ускоряемые по-

лем, не приобретут энергию eU

 4,86 эВ , и неупругое соударение электронов с ато-

 

мами  ртути  невозможно.  При

UУ   4,86 В

 

энергия  электрона  становится  равной

eU  4,86 эВ , и в результате неупругого удара с атомом ртути электрон полностью

отдает свою энергию атому. Такой электрон не сможет преодолеть задерживающее по- ле между сеткой и анодом и не попадет на анод.

Таким  образом,  при  разности  потенциалов  между  катодом  и  сеткой,  равной

4,86 В , должно происходить резкое падение анодного тока. При разности потенциалов

2  4,86В ,

3  4,86 В

и так далее, когда электроны могут испытать два, три и т. д. не-

упругих соударения с атомами ртути, должно происходить то же самое.

Действительно, Франком и Герцем было обнаружено резкое падение анодного то-

ка при ускоряющем напряжении

UУ   4,86 В ,

9,72 В

и 14,58 В , подтверждающее

справедливость первого постулата Бора.

 

I

 

4,9

9,8

14,7

UУ ,В

 

Второй постулат Бора также экспериментально подтвердился в опытах Франка и

Герца. Ртутные пары, возбужденные электронным ударом, оказались источником ульт-

рафиолетового излучения с длиной волны

253,7 нм. Это излучение соответствует пе-

 

реходу атома ртути, возбужденного электронным ударом на уровень с энергией

E2 , в

основное        энергетическое          состояние       с          энергией

E1 .      Согласно        постулату       Бора

 

E2  E1  hv . Зная энергии

 

E1 и

 

E2  для ртути, можно вычислить длину волны излу-

чения, которая оказывается в полном согласии с экспериментом.

 

Выдающийся успех теории Бора заключается в том, что она объясняла линейча- тый спектр атомов и точно предсказывала для атома водорода длины волн излучения. Кроме того, теория Бора также снимала вопрос о стабильности атомов.