Название: Курс лекций по физике Ч.2 (Климовский А.Б.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1434


5.   размытие волновых импульсов

 

Допустим, что в вещество попадает пучок (импульс) света длительностью  τ , ко- торый,  естественно,  является  немонохроматическим.  Если  показатель  преломления

 

среды зависит от длины волны

n  n(λ) , то скорости

волн также зависят от длины волны,

V  V (λ) . Это

значит, что в веществе какие-то волны будут двигать- ся  медленнее,  какие-то  быстрее,  и  световой  пучок

«расползется».

t

 
Это явление обусловлено д и с п е р с и е й  – зави- симостью показателя преломления (скорости волны) от длины волны.

dn

Для количественной характеристики дисперсии используют величину            .

dn

Области  длин  волн,  где

dλ  0 ,  то  есть  с  ростом  длины  волны  оптическая

плотность среды уменьшается (как на рисунке), называются областью нормальной

n

 
дисперсии. Например, стекло в видимой области спектра обладает нормальной дисперсией.

 

В некоторых диапазонах длин волн  λ  наблюдается

dn

обратное поведение

dλ  0 , которое получило название           

аномальной дисперсии.

 

Поскольку в дисперсирующих средах, где

 

dn  0 ,           скорость волн в импульсе

различна, то для характеристики скорости импульса вводят  групповую скорость  u .

Скорость V  является фазовой скоростью, которая в диспергирующих средах зависит от длины волны V (λ) , эта скорость определяет распространения фазы монохроматиче-

ского света с длиной волны λ .

Мы знаем, что плоская монохроматическая волна, распространяющаяся вдоль

оси Ox , описывается функцией

E  E0 cos(ωt  kx  δ) ,

где

ω  2πν

– частота колебаний волны,

k  k

– волновое число (модуль волнового

 

вектора). Плоскость

 

ωt  kx  δ  const

 

есть плоскость постоянной фазы, перпенди-

кулярная оси Ox , где  x – координата этой плоскости (фазы) на оси Ox . Взяв произ- водную по времени от левой и правой частей этого выражения, получим

dx        dx        ω

ω  k dt

dx

 0 ,   откуда

dt  k ,

где

dt

и есть скорость распространения фазы (скорость движения плоскости посто-

янной фазы). Таким образом,

 

 

ω

V  k .

 

Для нахождения групповой скорости рассмотрим простейшую группу волн, ко- торая является наложением двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ox , с

 

одинаковыми амплитудами лами k и k  dk

 

E0 , близкими частотами ω и

 

ω  dω

 

и волновыми чис-

E  E0 sin(ωt  kx)  E0 sin(ω  dω)t  (k  dk )x 

 tdω  xdk 

 2E0 cos

 sin(ωt  kx) .

2          

 tdω  xdk 

Амплитуда этой группы волн

E0

 2E0 cos

 медленно меняется в

2

 

зависимости от координаты  x  и времени  t . Скорость распространения этой несину- соидальной волны есть скорость движения амплитуды. Амплитуда будет постоянна

при

tdω  xdk  const . Это постоянное значение амплитуды будет перемещаться со

 

E          «мгновенная» фотография волны

 

скоростью

dx  dω , которая

dt         dt

и  является  групповой  скоро-

стью.   Таким  образом,

г р у п п о в а я  с к о р о с т ь

 

x          u  dω

dk

 

является производной от час- тоты по волновому числу.

 

Найдем связь между групповой и фазовой скоростями. Циклическая частота  ω

связана с фазовой скоростью V соотношением ω  kV .

 

 

Тогда

 

u  dω 

dk

 

d (Vk) 

dk

 

V dk dk

 

 k dV

dk

 

 V  k dV

dk

 

 

.  Поскольку

 

k  2π ,  то

λ

k dV  

dV       c          dV

. Так как V   , то k

V dn

         . Выражение для групповой скорости

dk        λ dλ

n          dk

n dλ

можно переписать в виде

 

u  V  k dV

 

 

 V  λ dV

 

 

ø

 

è

 
 V    1 dn  .

 

dk        dλ

1       n dλ 

 

Групповая скорость является скоростью переноса световым импульсом энергии.

При нормальной дисперсии u  V , при аномальной u  V .

 

В недиспергирующей среде,  в которой дисперсия отсутствует,

 

вая скорость совпадает с фазовой u  V .

dn

dλ  0 , группо-