Название: Курс лекций по физике Ч.2 (Климовский А.Б.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1422


Тема: дифракция волн

 

Вопросы:

1.  Понятие о дифракции волн. Принцип Гюйгенса–Френеля.

2.  Зоны Френеля. Метод зон Френеля.

3.  Дифракция Френеля на круглом отверстии.

4.  Дифракция Фраунгофера на щели.

5.  Дифракционная решетка.

6.  Области дифракции и прямолинейного распространения.

 

Д и ф р а к ц и е й   называют совокупность явлений, наблюдающихся при распро- странении света (волн) в среде с резко выраженной неоднородностью, например, при наличии препятствий. Дифракция наблюдается при размерах неоднородности среды порядка длины волны.

Часто дифракцию определяют как явление огибания волнами препятствий. Дей- ствительно, это одно из характерных явлений, наблюдающееся при дифракции.

Между интерференцией и дифракцией нет принципиального физического разли- чия, оба явления заключаются в перераспределении светового потока при суперпози- ции (наложении) когерентных волн. Когда речь идет о суперпозиции конечного числа волн, говорят об интерференции, если – бесконечного числа волн, то говорят о ди- фракции.

Для количественного описания явления дифракции не требуется никаких новых принципов. Дифракционная задача для электромагнитных волн сводится к решению уравнений Максвелла. Однако в такой строгой постановке дифракционные задачи, в

виду их сложности, допускают аналитическое решение лишь в очень простых случаях. Нас будет интересовать дифракция только световых волн. И рассматривать мы будем только те методы решения дифракционных задач, которые основаны на нестрогих принципах. Несмотря на свою нестрогость данные методы имеют в оптике большее значение.

Для качественного описания огибания волной препятствий, нахождения формы и положения фронта волны, используют принцип Гюйгенса (H. Huygens, 1629–1695).

П р и н ц и п  Г ю й г е н с а : все точки волнового фронта можно рассматривать как источники вторичных сферических волн, распространяющихся только вперед. Положение волнового фронта исходной (первичной) волны, есть огибающая волновых фронтов всех вторичных волн.

Каждая точка волнового фронта точечного источника представляет собой вторич-

ный сферический источник, и спустя некоторое время огибающая фронтов вторичных волн представляет собой сферу. Для плоской волны волновой фронт представляет со- бой плоскую поверхность. Если на пути плоской волны есть препятствие, то огибаю-

щая фронтов вторичных волн не будет плоской, в этом случае волновой фронт изменит свою форму.

Интенсивность световых волн за препятст- вием на основании принципа Гюйгенса рассчи- тать нельзя, поскольку принцип Гюйгенса являет- ся чисто геометрическим.

Для нахождения интенсивности света прин- цип Гюйгенса был уточнен Френелем (O. Fresnel,

1788–1827)   и   получил   название   п р и н ц и п а Г ю й г е н с а – Ф р е н е л я .   Он   состоит   из   не- скольких основных положений:

волновые фронты вторичных волн

 

волновой фронт первичной волны

 

1.   При  расчете  амплитуды  световой  волны

 

 
S          первичный  источник  S0

можно  заменить

P          системой   эквивалентных   ему  вторичных источников,           расположенных         на        любой

S0        замкнутой  поверхности   S ,  такой,  чтобы

источник  S0

находился внутри поверхно-

сти, а точка наблюдения P – снаружи. Для точечных источников в качестве поверхности S удобно выбирать сферу с центром,

совпадающим с источником.

2.   Волны       вторичных     источников    когерентны    и          распространяются     во        всех направлениях. Световое поле, возникающее в результате их интерференции в про-

странстве снаружи поверхности  S , совпадает с полем реального источника

S0 .

Если в качестве поверхности  S  выбрана волновая поверхность первичной волны

(для точечного источника – сфера), тогда все вторичные волны будут иметь одина-

ковую начальную фазу.

 

n

 

dS        

r

3.   Амплитуда колебаний световой волны dE каж- дого вторичного источника (элемента поверхно- сти  dS )  в  точке  наблюдения   P  пропорцио-

P          нальна площади этого источника  dS , обратно пропорциональна расстоянию r от него до точ-

ки наблюдения  P и пропорциональна амплиту-

де волны вторичного источника

E0 , и некото-

рой функции угла

f ()

 

 

Про функцию угла

 

f () можно сказать, что

 

dE 

f () E0 dS .

r

1,

f ()  

0,

при при

  0;

   / 2,

и она монотонно убывает от 1 до 0 при изменении угла от 0 до π / 2 .

4.   Если часть поверхности закрыта непрозрачным экраном, то закрытые участки не

излучают, а открытые излучают так же, как если бы не было экрана.

 

Принцип Гюйгенса–Френеля положен в основу м е т о д а   Ф р е н е л я  решения дифракционных задач.

 

Воспользуемся методом Френеля при рассмотрении дифракции световой волны

точечного источника S0

на круглом отверстии в плоском непрозрачном экране.

 

Рассмотрим точку  P , находящуюся на перпендикуляре к непрозрачному экрану, проходящему через середину отверстия. Радиус сферического волнового фронта, дос- тигшего отверстия, обозначим  a . Поверхность вторичных источников  S   выберем

совпадающей с этим волновым фронтом. Расстояние от точки наблюдения  P до по- верхности S обозначим b .

 

 

 

S0        P

 

S0        a

b  3 

2

 

P

 

b

a          b  

2

S

b  2 

2

 

Опишем  из  точки    P ,  как  из  центра,  концентрические  сферы  с  радиусами

λ          λ          λ

b, b  2 , b  2 2 , b  3 2 , ... Они разобьют поверхность S на кольцевые области, по-

лучившие название з о н  Ф р е н е л я . Центральный круг – первая зона Френеля, пер-

вое кольцо – вторая зона и т. д.

 

Подчеркнем две важных особенности примененного метода. Во-первых, мы раз- били волновой фронт на зоны мысленно, увидеть зоны невозможно. Во-вторых, мы построили зоны Френеля для конкретной точки, для другой точки получатся свои зоны Френеля.

 

 

 
первая вторая

третья

 

зона зона

зона

 

Найдем амплитуду результирующей волны в точке  P , исходя из принципа су- перпозиции, который в методе зон Френеля означает суммирование амплитуд волн, приходящих в точку P , от каждой зоны с учетом фаз этих волн.

 

 

n

 
Определим сначала амплитуду волны, дошедшей в точ- ку   P   от  одной  зоны  Френеля.  По  принципу  Гюйгенса-

S

Френеля  амплитуда  волны  вторичного  источника       пропор-

циональна площади, следовательно, амплитуда волны от зо- ны Френеля пропорциональна площади зоны Френеля.

Площадь  сферического  сегмента  сферы  радиусом  а ,   а

n

 
вырезаемого конусом с вершиной в точке  P и образующей,       h

λ

равной b  n

, будет равна

2

Sn   2πahn , где hn

– «высота»

сегмента.        Найдем

hn         из        условия,          что

         λ  2

r

 

n

 
2  a2

 (a  hn )2 и

n    b  n 2 

 (b  hn

) 2 , тогда        rn         a          

r

 

2

 
                  b  n

2  2      2

n

 
a2  a2  2ahn

 h2  b2  bnλ  n λ

n

 
4

 b2  2bhn

 h2       S0        P

или

2(a  b)hn   bnλ .  Мы  пренебрегли  слагае-

n2 λ2   a          b

мым

, который много меньше

4

bnλ

и тем бо-        hn

лее меньше ahn

и bhn . Отсюда

 

 

hn  

bnλ

2(a  b) .

Подставляя полученное выражение для высоты сегмента, найдем  площадь сфе- рического сегмента

 

S           πabλn .

n          a  b

 

Заодно,  из  условия

 

r

 

n

 
2   a 2

 

 (a  hn ) 2

 

 2ahn

 

n

 
 h 2 ,  найдем  радиус  зоны

 

Френеля. Пренебрегая

h 2 , так как  h

 a

и  h2  2ah

, получим  r  

2ah  .

n

Подставляя hn , найдем

n          n          n          n          n

 

 

rn  

abλn a  b

 

– р а д и у с  n - й  з о н ы      Ф р е н е л я .

Вернемся к нахождению площади. Площадь n -й зоны Френеля будет равна

 

ΔS        S       S

 πabλn  πabλ(n  1)  πabλ .

n          n          n 1

a  b

a  b

a  b

 

Откуда следует, что все зоны Френеля имеют одинаковую площадь,  то есть,

πabλ

ΔSn   a  b  const

– не зависит от номера зоны n .

 

На самом деле, при более точном вычислении, если бы мы не пренебрегали сла- гаемыми, то мы бы получили, что площади зон немного убывают с увеличением номе- ра зоны. Кроме того, амплитуда световой волны зоны Френеля пропорциональна функ-

ции угла

f (α) , убывающей с ростом угла, который увеличивается с номером зоны.

Указанные факторы, вместе с увеличением расстояния r от зоны до точки наблюдения с номером зоны Френеля, приводят к тому, что суммарная амплитуда волн каждой зо- ны Френеля медленно и монотонно убывает с ростом номера зоны n

E1  E2  E3  ... ,

где

E1 – величина суммарной амплитуды световых волн, дошедших в точку P из пер-

вой зоны,

E2 –  из второй,

E3  – из третьей зоны и т. д.

Из монотонности убывания мы можем выразить амплитуду волны, приходящей

 

от зоны с номером k , через амплитуды соседних зон Ek

 Ek 1  Ek 1 .

2

 

Отсюда получаем, что

Ek 1

2

 

 Ek

 Ek 1

2

 

 0 .

В силу построения зон Френеля      волны, приходящие из соседних зон, будут в

противофазе, поскольку в каждых соседних зонах можно выделить пары эквивалент-

λ

ных вторичных источников с разностью хода между ними, равной

 

фаз суммарная амплитуда будет равна

. Тогда с учетом

2

E  E1  E2

 E3  E4  ... ,

 

где

 

E1 – суммарная амплитуда световых волн, дошедших в точку  P из первой зоны,

(  E2 ) –  из второй, E3

– из третьей зоны и т. д. Или

E  E

  E   E   E

E          E          E

1                   1

3                3

5  

 

2

 
2           2

 

4

 
2        2

2       ...

Здесь, как мы отметили ранее, все выражения в скобках будут равны нулю.

 

Из последнего выражения мы получаем, что если открыты все зоны – это будет

 

при отсутствии препятствий, то

E  E1 .

2

 

 

Если открыто m зон  и, если

 

m  2k  1

 

 

нечетно, то

 

E  E1  Em . В выра-

2          2

жении для амплитуды суммарной волны останутся половины амплитуд волн от первой

и последней зоны.

E           E      

Если   число   открытых   зон

m  2k

четно,   то

E    1     m 1  Em  .

 

 

E          E          E

2                   2          

E

Поскольку можем считать, что

Em    m 1    m , то

E    1    m .

2          2          2          2

 

Таким образом, мы получили, что результат суперпозиции волн вторичных ис- точников в точке P зависит от того, четный или нечетный номер имеет последняя зона Френеля, открываемая отверстием.

Если открыто нечетное число зон, в точке наблюдения будет максимальная ин- тенсивность света, складываются амплитуды первой и последней зоны – точка  P бу- дет светлой. Точка будет самой светлой, если открыта одна зона Френеля ( m  1).

Если открыто четное число зон, то интенсивность света в точке  P будет мини- мальной, амплитуды первой и последней зон вычитаются – точка наблюдения будет

темной.

Самая темная точка будет, если открыты две зоны ( m  2 ).

 

До сих пор мы рассматривали точку наблюдения, находящуюся на перпендикуля- ре к непрозрачному экрану, проходящему через центр отверстия.

Если мы сместимся в точку наблюдения  Р , то для нахождения амплитуды сум- марной волны нужно также построить зоны Френеля, но уже для точки  P . Зоны Фре-

неля для этой точки будут смещены относительно центра отверстия. Мы рассмотрим

эту ситуацию, только качественно.

Для точки  Р  в нижней части  отвер-

стия откроется часть зоны Френеля, закры- той для точки P , но при этом непрозрачный

S

 
экран закроет вверху часть зоны, открытой           P

для точки P .  0

Допустим,  что  для  точки  P  открыто       P

нечетное число зон, тогда амплитуда волны в

точке   P          будет

E  E1  E2  E3  ...  Em .

В          точке   P       амплитуда      волны будет

 

E  E1  E2  E3  ... αEm  βEm1,

P будет темнее, чем P .

где

0  α  1 и

0  β  1, тогда

E   E , и точка

Если для точки  P открыто четное число зон, то

E  E1  E2  E3  ...  Em .

Тогда

E  E1  E2  ... αEm  βEm1, где 0  α,β  1, следовательно,

E  E , и тогда

Р будет светлее точки P .

 

I           I

 

S

 

 

В точках за отверстием интен- сивность света будет определяться структурой   открытых   зон   Френеля. На экране, находящемся за отверсти- ем, будут симметрично расположены более светлые и более темные облас- ти. Схематично распределение интен- сивности света на экране за отверсти- ем представлено на рисунке.

Интенсивность света в точке наблюдения можно значительно усилить, закрыв все четные или все нечетные зоны Френеля. На этом основано действие амплитудной зон- ной пластинки.

 

 
А м п л и т у д н а я   з о н н а я   п л а с т и н а   пред- ставляет собой пластину, в которой вырезаны про- зрачные кольца, закрывающие только четные или толь- ко нечетные зоны Френеля для некоторой точки P .

Тогда,  в          точке   P          амплитуда      будет   равна

E  E2  E4  E6  ...

(открыты        четные            зоны),

E  E1  E3  E5  ... (открыты нечетные зоны) и бу-

дет во много раз превышать амплитуду первой зоны E1

 

и амплитуду волн всех зон

E  E1 . Заметим, что увеличение освещенности  будет

2

только в точке P , другие точки будут сильно затемнены – фокусирующее действие зонной пластинки. Полный световой поток не усиливается, а только перераспределя-

ется.

 

 
Если мы будем не закрывать четные или нечетные зоны, а менять фазу волн, идущих от соседних зон на  π , то мы полу- чим ф а з о в у ю  з о н н у ю  п л а с т и н ку , принцип действия которой основан на переворачивании фаз для соседних зон.

Проще всего это сделать, обеспечив, чтобы волны от со- седних зон проходили дополнительную разность хода, равную

λ

.           Тогда  амплитуда  волны  в  точке  наблюдения  будет

2

E  E1  E2  E3  ... в два раза больше, чем для амплитуд-

ной зонной пластинки, а интенсивность света будет в четыре

 

раза больше, так как

I ~  E 2   .

 

Мы рассмотрели дифракцию на круглом отверстии. Если отверстие не круглое (прямоугольное или щель), то метод Френеля применим, но разбивать волной фронт на кольца нецелесообразно. Метод Френеля применим также и в случае, если первичный

 

источник не точечный, только в этом случае волновой фронт не будет сферическим, а будет определяться формой источника. Если волна не сферическая, а плоская, то есте- ственнее разбить волновой фронт на прямолинейные полосы. Остальной анализ остает- ся без изменений.

 

Рассмотренная дифракция, когда все вторичные волны сходились в точке наблю- дения называется д и ф р а к ц и е й  Ф р е н е л я или дифракцией в сходящихся лучах.

 

Немецкий  физик  Йозеф Фраунгофер  (J.  Fraunhofer,  1787–1826)  рассмотрел  ди- фракцию плоских световых волн, или дифракцию в параллельных лучах, которая получила название  д и ф р а к ц и и  Ф р а у н г о ф е р а .

Дифракция Фраунгофера наблюдается, когда источник и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызывающего дифракцию.

Дифракционная задача Фраунгофера может быть решена строго, но условия мак- симумов и минимумов дифракционной картины можно получить, пользуясь методом Френеля.

Рассмотрим плоскую волну, на пути которой установим бесконечно протяженную щель, шириной b . На рисунке щель расположена перпендикулярно плоскости рисунка. Для  наблюдения  дифракционной

картины на экране, расположен- ном на конечном расстоянии, ме- жду препятствием и экраном по- местим фокусирующую линзу, а экран установим в фокальной плоскости линзы.

Применим  метод  Френеля. Для   волн,   распространяющихся

под углом  α  к первоначальному

волновой фронт

b

 

λ

2          2λ

2          3λ

2

 

(до щели) направлению, разобьем волновой фронт плоской волны, достигший щели, по ширине ще- ли b на зоны Френеля. Получен- ные   зоны   представляют   собой

линза

 

экран

полосы, параллельные щели. Число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели,

зависит от угла  α , под которым наблюдаем дифракцию. При

α  0

щель открывает

только часть первой зоны. При α  0

λ

число зон N определяется выражением

2b sin α

N 2  b sin α ,  или  N         λ          ,

где b – ширина щели. На рисунке получилось три полосы (зоны Френеля).

Результат наложения всех вторичных волн в точке наблюдения на экране зависит

от числа зон, открываемых щелью. По определению зон Френеля разность хода от кра-

λ

ев зон равна

. Следовательно, волны, приходящие от соседних зон, будут в противо-

2

фазе, и, поскольку пощади полос (зон) Френеля одинаковы, они будут гасить друг друга.

Если число зон четно

N  2b sin α  2m

λ

 

или

b sin α  2m λ ,

2

 

где m = ±1, ±2, ±3…, то на экране в точке схождения (после линзы) волн, идущих от щели под углом  , будет дифракционный минимум (темная полоса на экране).

Если число зон, укладывающихся на ширине щели, нечетное,

 

N  2b sin α λ

 

 

 2m  1

 

 

или

 

b sin α  (2m  1) λ ,

2

 

то в точке схождения лучей будет дифракционный максимум (светлая полоса на эк-

ране). При

α  0

разность хода всех вторичных источников равна нулю (все они из

одной первой зоны) и под этим углом всегда наблюдается центральный дифракцион-

ный максимум – наиболее светлая область.

 

При точном решении щель разбивается на бесконечное число бесконечно узких полосок. Результирующее колебание световой волны в точке экрана будет равно сумме колебаний всех вторичных источников, которое при бесконечно большом числе беско- нечно малых слагаемых является интегралом

E   dE ,

который с учетом сдвига фаз, между волнами вторичных источников, идущими под уг- лом α , примет вид

b

2

E   

b

 

E0 dx b

 

 

 
co  ωt 

 

 

÷

 
2π x sin α  ,

λ          

2

где  x – координата вторичного источника (полоски шириной dx ), измеренная от цен- тра щели.

 

 

После интегрирования получим

 

 

E  E0

sin πb πb sin α

            λ          . И для интенсивности так

πb sin α

λ

 

I           I 0

 

sin 

как

I ~ A2 ,

 

I  I 0

 

sin 2 πb sin α

            λ          .

 πb sin α 2

 

 2m

b

 

 m

b

         

λ

 
m      2m             

b          b

 

 

При

πb sin α λ

 

 mπ

 

интенсивность равна нулю. Другими словами, мы получили

условие минимумов дифракции

 

 

b sin α  mλ ,

 

при котором  интенсивность света равна нулю. Это условие, естественно, точно такое же, как полученное с помощью метода Френеля.

 

Для нахождения максимумов интенсивности приравняем производную от интен-

dI

сивности по углу к нулю,

dα  0 . Решая уравнение, получим условие максимумов

tg πb sin α  πb sin α , где m  1,  2, ... . Записанное трансцендентное уравнение не

λ          λ

имеет точного решения, приближенное решение этого уравнения имеет вид, близкий к

найденному приближенным методом Френеля,

 

         1 

b sin α   m  2 λ

– условие максимумов дифракции.

 

 

Поскольку sin α

         

 

не может

быть    больше            единицы,

sin α  1,  то  существует  наи-

больший порядок (номер)

mmax

максимума,  который  будет  на- блюдаться. Его можно найти из

 

 

m  2

 

 

m  2

 

условия

sin α   m  1  λ  1.

         

         2  b

m  1

m  1

                    

 

Откуда

m  b

 1 ,       тогда

2

m         0

экран

m           b  1  . Здесь прямые скобки   означают взятие целой части. Количество

max

 λ

2 

максимумов, которые могут наблюдаться, равно

kmax   2mmax   1. На рисунке при-

веден случай

mmax   2 и kmax   5 .

b

Если ширина щели

b  λ , тогда

mmax  λ  1 и будет один центральный макси-

мум. При

b  λ , экран за щелью будет практически равномерно освещен. И чем

меньше ширина щели, тем равномернее будет освещенность экрана.

 

Если на щель падает не монохроматический, а белый свет, то для разных длин

волн будут наблюдаться максимумы при разных углах

α λ , кроме

α  0 , который со-

ответствует максимуму для волны с любой длиной волны. Таким образом, все дифрак- ционные максимумы, кроме центральной полосы, будут окрашены.

 

Если щель не одна, а  N  щелей, и они периодически расположены на расстоянии d  друг от друга, то такая система щелей называется дифракционной решеткой. Рас- пределение света на экране, расположенном за дифракционной решеткой, получается в результате интерференции N дифракционных потоков света, идущих от каждой щели.

Д и ф р а к ц и о н н а я         р е ш е т к а     –          b          a

периодически расположенный набор щелей.

Величина

d  a  b

–   называется   про-

странственным периодом или постоянной

дифракционной решетки.     d

 

Изобретателем первой дифрак- ционной решетки некоторые иссле- дователи считают Фраунгофера. Рас- смотрим дифракцию Фраунгофера на

         дифракционной решетке.

         Разность  хода  световых  волн,

         исходящих от одинаковых точек со-

седних            щелей, будет   равна

линза

Δ  d sin α . Когда

Δ  mλ ,          свето-

вые волны, идущие от соседних ще-

лей, при интерференции будут усили-

 

экран

         1 

вать друг друга, а при Δ   m  2 λ

         

– ослаблять. Помимо этого, свет будет усиливаться или ослабляться, когда будут вы- полняться условия максимумов или минимумов для несоседних щелей.

 

Естественно, что в тех направлениях, в которых не распространяется свет ни од- ной щелью, он не будет распространяться и  N  щелями – это главные (дифракцион- ные) минимумы интенсивности света

b sin α  mλ ,

 

m  1,  2,  3, ...

 

Минимумы света будут также в тех направлениях, в которых световые волны от разных щелей будут гасить друг друга – дополнительные (интерференционные) ми-

нимумы. Для

N  2 условие дополнительных минимумов будет иметь вид

         1 

d sin α   m  2 λ ,

m  0,  1,  2, ...

         

Для

N  2 условие дополнительных минимумов запишем чуть позже.

 

В направлениях, в которых свет от щелей при интерференции будет усиливать

друг друга, будут наблюдаться главные (интерференционные) максимумы. При лю- бом N условие главных максимумов будет определяться выражением

d sin α  mλ ,

m  0,  1,  2...

 

При

 

N  2 других максимумов не будет, а при

 

N  2 появятся дополнительные

максимумы.

 

Все эти условия можно получить и при точном решении задачи дифракции Фра- унгофера на дифракционной решетке. Выражение для интенсивности света, прошедше- го дифракционную решетку, будет иметь вид

 

sin 2 πb sin α

 

sin 2 Nπd sin α

I  I 0

            λ                   λ          .

 πb sin α 2

sin 2 πd sin α

λ

 
                  λ

         

 

дифракционный        интерференционный сомножитель            сомножитель

 

Из точного решения задачи дифракции Фраунгофера можно легко получить усло- вие наблюдения дополнительных минимумов для произвольного числа щелей.

Числитель первого (дифракционного) сомножителя обращается в ноль, и интен- сивность I равна нулю, при b sin α  mλ – условие главных минимумов.

πd sin α

Когда

λ           mπ , выполняется условие главных максимумов

d sin α  mλ .

При этом и числитель, и знаменатель второго (интерференционного) сомножителя об-

ращается в ноль, а сам сомножитель становится равным единице.

 

Когда

Nπd sin α λ

 

 mπ

 

или

 

d sin α 

m λ ,    где

N

 

m  1,2,..., N  1 , числитель

интерференционного сомножителя будет равен нулю, а знаменатель будет отличен от

нуля. Следовательно, при этом условии

I  0 . Таких дополнительных минимумов

будет

N  1.

Между дополнительными минимумами будут

мума.

N  2

дополнительных макси-

В результате дифракционная картина, например, для 4-х щелей, будет выглядеть так, как изображено на рисунке.

 

I