Название: Курс лекций по физике Ч.2 (Климовский А.Б.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1420


Перейдем к рассмотрению временнòй когерентности.

 

Мы рассматривали строго монохроматические волны одной и той же частоты. Такие волны, излучаемые идеальными (точечными) источниками, когерентны, то есть всегда интерферируют. Интерференционная картина таких источников устойчива, рас- пределение интенсивности на экране неизменно во времени.

Излучение реальных источников не является строго монохроматичным и, если они независимы, то усиление и ослабление светового потока при их наложении недос- тупны наблюдению. Поясним это на модели идеализированных источников, излучаю- щих  почти  монохроматические  волны,  амплитуда  и

 

 
фаза которых хаотически изменяется за время, много большее периода колебаний. Такая волна представля- ет собой совокупность «обрывков» гармонических волн разной амплитуды и фазы. Примером может служить излучение изолированного атома, который в

 

течение

  108 с

 

испускает ряд волн или, как при-

                  

нято говорить, ц у г   в о л н , независимо следующих

друг за другом. При наложении света цугов двух ато-

мов на экране получится некоторая интерференционная картина, которая определяется разностью фаз между колебаниями обоих цугов. За одну секунду сотни миллионов раз сменятся пары цугов, хаотически изменится разность фаз, и столько же интерференци- онных картинок промелькнет на экране. Глаз или другой приемник света не в состоя- нии уследить за этой сменой картин и фиксирует только равномерную освещенность экрана.

Рассмотрим идеализированный немонохроматический источник. Допустим, что

свет источника S представляет волны с длинами волн из диапазона

(λ, λ  δλ) . Если

δλ

для некоторой точки экрана разность хода для волн с длинами волн λ и

λ  λ 

2

         1 

будет определяться выражением

Δ  Nλ   N  2 λ , то волны с длиной волны  λ

         

придут в эту точку в фазе, а с длиной волны  – в противофазе. В этом случае макси-

         δλ 

2

 
мумы интерференционных картин диапазона  λ, λ 

 наложатся на минимумы ин-

 

 

терференционных картин диапазона

 λ 

δλ , λ  δλ  , и интерференционные полосы

÷

 
2          

         1 

исчезнут. Условие исчезновения полос будет

Nλ   N  2 λ

или

 

 

N      λ          

2(λ  λ)

         

 

λ

δλ .

 

Максимумы  и минимумы с номерами, меньшим, чем  N , будут видны, а с номе- ром порядка N и более будут смазаны. Это означает, что квазимонохроматические волны, когерентные при низких порядках интерференции,  перестают быть когерент-

λ

ными при высоких порядках

N  δλ .

Нарушение когерентности в данном случае связано с запаздыванием одних волн по сравнению с другими. Поэтому и говорят о временнòй когерентности, количествен-

ной характеристикой которой является

τког

– время запаздывания между волнами,

при котором интерференционная картина пропадает, которое называют в р е м е н е м к о г е р е н т н о с т и . За время когерентности волна проходит расстояние, равное длине когерентности.

Д л и н о й   к о г е р е н т н о с т и  называется минимальная разность хода между двумя волнами вдоль направления распространения волны, при которой интерферен- ционная картина пропадает, и волны нельзя считать когерентными. По определению

Lког

– разность хода между волнами, при которой пропадает интерференционная кар-

λ2

тина, таким образом

Lког  Nλ  δλ .

 

Lког     λ2

Тогда время когерентности

τког   V

 Vδλ , где V  – фазовая скорость волны.

 

Поскольку частота волны

ν  V

, то δν  Vδλ , и тогда τ          1 .

λ          λ2

ког       δv

Принято считать, что наибольший порядок наблюдаемого максимума интерфе-

ренции определяется из условия

N          Lког  .

max      λ

 

Для  теплового  источника  (например,  электрической  лампочки),  испускающего

1       

весь диапазон длин волн

  1015 Гц , время когерентности,

ког  

 10

15 с и,

 

соответственно,

Lког   107 м .   Для   этих   источников   в   видимой     области           при

 ~ 107 м

блюдается.

 

максимальный порядок

Nmax   1, и интерференционная картина не на-

Для лазерных источников, генерирующих достаточно монохроматические волны

с            102 Гц ,            время  когерентности

ког   102 с ,           и          длина  когерентности

 

Lког   106

м . В принципе, используя лазерные источники, можно наблюдать интер-

ференцию с разностью хода в несколько километров, но в реальности при большой разности хода сказываются неоднородность земной атмосферы и трудности создания стабильного интерференционного устройства таких размеров.

 

После обсуждения понятия когерентности света перейдем непосредственно к рас- смотрению интерференции, и далее всегда будем считать волны когерентными, то есть расстояние между источниками будем считать меньше радиуса когерентности, а раз- ность хода меньше длины когерентности. При необходимости будем указывать усло- вия, обязательные для выполнения этих требований.

 

Самый простой случай интерференции – образование с т о я ч е й   в о л н ы , яв- ляющейся результатом наложения распространяющихся навстречу друг другу бегу- щих волн (часто это падающая и отраженная от преграды волны).

Пусть накладываются две плоские волны, распространяющиеся вдоль оси  Ox ,

первая – в положительном направлении, вторая – навстречу,

E1  E0 cos(ωt  kx)

и E2  E0 cos(t  kx   ).

         φ                φ 

Суммарная     волна

Е  Е1  Е2  2Е0соs kx  2  cos ωt  2 

является

                           

         φ 

с т о я ч е й  в о л н о й , представляющей собой колебания

A( x) cos ωt  2 

с ампли-

         

         φ 

тудой

A( x)  2E0 cos kx  2  ,  зависящей от координаты х точки стоячей волны.

         

Точки, в которых амплитуда стоячей волны

равна нулю,

A(x)  0 ,  называются          у з л а м и ,

Пучности

их положение определяется условием

 

A( x)

2

 

è

 

ø

 
k          x  φ   m  1 

 

или

узл ( m)            2                   π

 

2π x

 φ   m  1   .

2

 

x

 

è

 

ø

 
λ          узл ( m)            2                   π

 

Расстояние между узлами

 

Узлы

 

Δx узл

 

 х узл (m 1)

 

 х узл ( m)

 λ .

2

Точки, в которых   амплитуда стоячей волны максимальна,

A(x)  max  2E0 ,

называются    п у ч н о с т я м и ,     их        положение     определяется  условием

 

kxпуч ( m)

 φ  mπ

2

 

или

λ  хпуч ( m)

 φ  mπ . Расстояние между пучностями также,

2

как и для узлов равно половине длины волны, хпуч   2 .

 

Для  стоячих  электромагнитных  волн  положения  пучностей  напряженности

электрического поля E

совпадает с узлами индукции магнитного поля  B , и наоборот.

Это позволяет разделить магнитное и электрическое поле в стоячей волне. Получение

стоячих электромагнитных волн сопряжено с трудностями, связанными с малостью длины волны. Кроме того, необходимо, чтобы между областью интерференции и отра-

жающей поверхностью было расстояние меньше длины когерентности

Lког .

Получение стоячих звуковых волн с частотами, например, около

v  1 кГц , не

вызывает        никаких          проблем.         Скорость        звука   в          воздухе           приблизительно            равна

V  330 м/с

(точное значение зависит от температуры воздуха). Нестабильность час-

тоты может быть легко достигнута порядка

1

  10 Гц . Следовательно, для этих волн

  33 см , а

Lког  Vког   V   33 м . Наблюдение пучностей (и узлов), расстоя-

ние между которыми

l  15 см , в столбе воздуха длиной 1 м

не представляет экспе-

риментальных трудностей.

 

Заметим, что стоячая волна в отличие от бегущей волны не переносит энергию. Можно сказать, что падающая волна переносит энергию в одну сторону, а отраженная навстречу, в результате энергия не переносится. Для стоячих электромагнитных волн энергия, не распространяясь, колеблется, переходя из энергии магнитного поля в энер- гию электрического поля и обратно.

 

Перейдем к подробному рассмотрению другого примера интерференции (уже не- однократно упоминавшемуся опыту Юнга).

 

Найдем положение точек экрана, соответствующих максимумам или минимумам

(светлым и темным областям). Для этого нужно найти разность хода

  L2  L1 для

произвольной точки с координатой  x , где

S1        L1

х          L1

– путь, проходимый светом до точки  х

d          от источника S1 ,

L2 – от источника S 2 .

d          0          2          Сначала найдем разность квадратов

S          d

2

 

2

 
2          L2

 

2

 
2          L2  L2   x  d     и

 

2

 
L2  L2   x  d   ,

L

 

é

 
2          2          2          

 

d 2 

 

экран

 

  2     

2                            1                   

                           

 

2

 

2

 

 

 

2

 
d 2          d          d 2

L2  L1

 L

  x  2 

  L

  x  2 

  x

 xd 

4   x

 xd   4

 2xd .

      

         

  

Тогда (L

 L )(L

 L )  (L2   L2 )  2xd .

2          1          2          1          2          1

В опыте Юнга расстояние d между источниками мало (для пространственной ко-

герентности),  x мало (для временной когерентности), то есть

d  L и

x  L . При

этом можно считать, что

L1  L2   L и

L1  L2  2L .

xd

Тогда получаем Δ  2L  2xd , и  разность хода Δ   L  .

 

Соответственно, используя условие максимумов интерференции

Δ  mλ

и усло-

         1 

вие      минимумов    интерференции

Δ   m  2 λ ,          получаем        для      максимумов

         

xmax d

 

 mλ , и минимумов

   min       m  1 λ . Тогда их координаты

x          d          

L          L          

2 

         1 

 

 

xmax

 

 mL ,

d

 

 

xmin

 m     λL

2

 
         .

d

 

Расстояние между максимумами

 

Δx         x

 x          (m  1)λL  mλL  λL .

max

max ( m1)

max ( m)           d          d          d

Расстояние между минимумами

 

 

         1 

 

 

Δx         x

 (m  1)           λL

2                   λL

 
 x                     .

min

min ( m1)

min ( m )           d          d

Таким образом, светлые и темные области при использовании щелей в качестве

источников будут представлять собой полосы, равноотстоящие друг от друга, при этом середина светлой полосы бу-

дет расположена строго меж-          I

ду темными, а середина тем-

ной полосы строго посереди- не между светлыми. Ширина

λL

полос

Δx 

d  .   Распреде-

ление  интенсивности          света представлено на рисунке.

Заметим, что условия максимумов и минимумов зависят от длины волны, сле- довательно, если свет не мо- нохроматический   (содержит

 

 2L

d

 

0

 
 L      L

d          d

 

x

 

2L

d

волны разной длины волны), то для каждой волны получится своя картина интерфе- ренции. Полосы для различных длин волн будут иметь разную толщину и будут нахо- диться на разном расстоянии друг от друга (в зависимости от длины волны).

 

Перейдем к следующему примеру интерференции – интерференция в тонких пленках.

Пусть тонкая пленка толщиной  d  с оптической плотностью  n находится в воз- духе, и под углом i на пленку падает пучок монохроматического света.

Для  тонких  пленок,  если

d  Lког ,  будет  наблюдаться  интерференция  волн

(лучей), отраженных от передней и задней поверхностей пленки. Результат интерфе- ренции определяется разностью фаз 1 -го и 2 -го лучей.

Если свет белый, то, как мы получили ранее,

Lког    , тогда для наблюдения ин-

терференции толщина пленки  d  должна быть

d  Lког   λ . При этом, если

d   ,

 

то, как мы увидим, будет наблюдаться только центральный минимум, и пленка в отра- женном свете становится темной.

Рассмотрим монохроматическую волну с длиной волны λ . Найдем разность хода

Δ лучей 1  1 и 2  2 .

 

 

1          2

2

i           B          r           1

 

C

До отрезка  АВ волны 1 и 2 прой- дут одинаковый путь. И от точки  D вол- ны 1 и 2 пройдут одинаковый путь. Точки отражения луча 2 и выхода луча 1 совпадают, хотя на рисунке они для на-

глядности       разнесены.     Тогда

Δ  n( AE  ED)  BD .

A                           D

n          d

 

 

Из        рисунка

 

AE  ED 

 

d

;

cos γ

E                      BD  ADsin r , где  γ – угол  преломле- ния,           r           –          угол     отражения.     Так      как

AD  2 AC ,

AC  d  tgγ , r  i , то  разность хода будет равна

2nd

2nd

2nd  sin γ

Δ  cosγ  2d  tgγ  sin i  cosγ 

 

cosγ

sin γ  2nd  cosγ .

Воспользовавшись законом преломления sin i  n  sin γ , получим

 

Δ  2nd  cosγ  2nd

 

1  sin 2 γ  2d

 

n2  sin 2 i .

Окончательное выражение для оптической разности хода получим, если учтем скач- кообразное  изменение  фазы  на    при  отражении  луча  от  более  плотной  среды  –

Δφ  π или Δ   λ . Тогда оптическая разность хода будет равна

2

 

Δ  2d

 

n2  sin 2 i

 λ .

2

 

Заметим, что здесь законы отражения, преломления и изменения фазы волны при отражении мы использовали без обоснования, поскольку все эти законы мы рассмот- рим, когда будем изучать взаимодействие света с веществом.

 

Запишем условия максимумов и минимумов интерференции в тонких пленках

( m – целое число).

Условие максимумов

 

2          2          λ

 

2          2          

 

1 

2d        n

 sin

i  2  mλ

или 2d

n           sin

i   m  2 λ .

         

 

Условие минимумов

 

2d        n2  sin 2 i  λ  mλ  λ

 

 

или 2d

 

n2  sin 2 i  mλ .

2          2

 

При этих условиях максимумы и минимумы будут наблюдаться в отраженном

от пленки свете.

 

Чтобы получить условия максимумов и минимумов в проходящем свете, нуж- но найти разность хода лучей 1  и 2 . Геометрическая разность хода будет такая же, как и для отраженных лучей 1 и 2 , но луч 1  дважды отражается от более плотной

λ

среды, поэтому для нахождения оптической разности хода Δ нужно прибавить не  2 ,

λ

как для отраженного света, а

2  2  λ , или, что для интерференции то же самое, ниче-

го не прибавлять. Тогда условия максимумов и    1          2

минимумов  будут  иметь  вид,  обратный  по

сравнению с условиями для отраженного света   i           B

 

2d        n2  sin 2 i  mλ – максимумы,

 

          

 

C

A                           D

2d        n2

 sin 2

 

i  

1

2

 
m         λ

– минимумы. n          d

Соотношение между отраженным и пре- ломленным светом легко объяснимо из закона сохранения энергии. Когда максимум света от-

 

E          2

1

ражается, то минимум света проходит, и наоборот. Полная энергия световой волны со- храняется, распределяясь между отраженными и прошедшими лучами.

Если пленка имеет постоянную толщину, то условия максимумов и минимумов интерференции зависят только от угла падения. Получающиеся при этом полосы ин- терференции называются п о л о с а м и  р а в н о г о  н а к л о н а .

Интерференционную картину можно наблюдать либо на бесконечности, либо на экране с помощью собирающей линзы.

Для света с разными длинами волн минимумы и максимумы будут наблюдаться при разных условиях (углах), так как условия максимумов и минимумов зависят от  .

 

Если толщина пленки не постоянна, то при освещении пленки параллельными лучами оптическая разность хода будет меняться от точки к точке. Условие интерфе- ренции будет одинаковыми, для точек с одинаковой толщиной пленки d . Получаемые интерференционные полосы называются п о-

л о с а м и  р а в н о й  т о л щ и н ы , их можно

увидеть на самой пленке.     1

Поскольку условие максимумов интер- ференции зависит от длины волны, то для света разных длин волн максимумы будут в

разных точках пленки. При освещении пленки     d1        d 2

белым светом на пленке наблюдаются окра-

шенные полосы равной толщины, например,       d1

радужная пленка бензина на воде.

 2       3

 

d3

 

Еще раз отметим, что для наблюдения интерференции в тонких пленках, необхо-

 

димо, чтобы разность хода

 

Δ  2d

n2  sin 2 i

 

была меньше длины когерентности.

При нормальном падении

i  0 , это требование примет вид

2dn  Lког . Поэтому ин-

 

терференция в белом свете, для которого для субмикронных пленок.

Lког   106   107 м , наблюдается только

 

На явлении интерференции в тонких пленках основано п р о с в е т л е н и е  о п- т и к и . Качественные оптические системы (например, объектив хорошего фотоаппара- та) состоят из большого числа линз, что делается для компенсации искажений. При прохождении   света  через   линзы  часть   света  отражается   от   поверхностей   линз

( 4  10 \%

от каждой поверхности) и не проходит за оптическую систему. Для повы-

шения освещенности за оптической системой на поверхность линз наносится тонкая пленка, имеющая толщину и оптическую плотность, обеспечивающие минимум отра-

женного света с длиной волны из середины видимого спектра

щие, тем самым, максимум проходящего света.

  0,55 мкм

и даю-

 

Частным  случаем  интерференции  в  тонких  пленках  я в л я ю т с я   к о л ь ц а Н ь ю т о н а , получающиеся при интерференции света на тонком воздушном клине, который образуется, если стеклянную линзу с большим радиусом кривизны поместить на толстую плоскую стеклянную пластину.

Толщина воздушного клина  d  должна быть меньше

Lког , а толщина пластины

D , на которую помещена линза, должна быть намного больше длины когерентности

 

свет

 

R          R

D  Lког ,  чтобы  не  происходила  интерфе-

ренция световых волн, отраженных от перед- ней и задней поверхностей пластины. Обычно рассматривают нормальное падение – угол па-

линза

дения

i  0 . Так как клин воздушный, то по-

r           d          казатель преломления

n  1. Тогда оптическая

λ

пластина

D         разность хода равна

Δ  2d 

. Максималь-

2

ное отражение будет при условии

 

λ                   1 

2d  2  mλ

или

2d   m  2 λ .

         

 

На поверхности пластины мы можем наблюдать полосы равной толщины –

кольца Ньютона. Радиус светлых колец в отраженном свете можно получить из усло-

 

вия      максимумов   при      отражении.    Учитывая,      что

 

d  R 

R 2  r 2 ,          получим

R 2  r 2  (R  d ) 2  R 2  2d  d 2 .  Откуда

2Rd  d 2  r 2 ,  при

 

этом  слагаемым

d 2   можем  пренебречь,  поскольку

2

 

d  R  и

d 2  Rd . Тогда найдем

d  r

2R

 

. Подставив последнее выра-

жение в          условие           максимумов   в          отраженном   свете

         1 

r 2     

1 

2d   m  2 λ , получим

R   m  2 λ . Тогда радиус свет-

                           

                   1 

 

 

. Из закона сохранения энергии

2

 
лых колец в отраженном свете        r

 m     Rλ

         

этому же условию соответствует радиус темных колец в проходящем свете.

Радиус темных колец при отражении или радиус светлых колец в проходя-

щем свете r 

mRλ

можно найти из условия минимума 2d  mλ .