Название: Курс лекций по физике Ч.2 (Климовский А.Б.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1434


3.   билинза бийе

 

 

 
В   опыте   использовалась   собирающая   Э

S

 
линза, разрезанная пополам, с раздвинутыми

половинами. На полученную билинзу направ-     1

ляют свет от щели  S , параллельной плоско-

сти разреза. В

S1 и S2

получаются действи-            S          И

тельные   изображения   щели.   Пучки   света,

проходящие через

S1 и

S2 , когерентны, и на

экране в области перекрытия и будет наблю-       S 2

даться интерференционная картина.

 

Независимо от способа получения интерференционной картины в любом случае необходимы когерентные источники, испускающие когерентные волны. Опыты по ин- терференции отличаются используемыми приспособлениями для создания этих источ- ников, например, устройствами для отражений и преломлений, обеспечивающих нало- жение одной световой волны на другую.

Рассмотрим наложение волн более подробно. Будем рассматривать колебания одного направления и ограничим наше рассмотрение только наложением двух лучей

 

(двухлучевой интерференцией). По принципу суперпозиции напряженность результи- рующего электрического поля световой волны будет равна сумме напряженностей электрического поля обеих волн

                  

E  E1  E2 .

 

Частота световых волн такова, что ни один приемник света не позволяет измерить мгновенное значение электрического (или магнитного) поля в световой волне. Все при- емники (в том числе и глаз) инерционны и могут измерять только величины, квадра- тичные по полю, усредненные по времени.

В явлениях интерференции, дифракции и пр. представляют интерес не абсолют- ные, а только относительные значения этих величин, например, относительное распре- деление освещенности на экране, куда попадает свет.

Поэтому нет необходимости точно знать значение энергетической или фотомет- рической величины, которую мы регистрируем. Все значения будут относиться к лю- бой усредненной по времени величине, квадратичной по напряженности электрическо- го поля. Такой величиной является введенная нами ранее интенсивность волны. Для световых   волн   интенсивность   волны   называют   и н т е н с и в н о с т ь ю    с в е т а

I ~  E 2

. Эту величину мы и будем использовать для описания интерференции.

 

Найдем интенсивность света в некоторой точке пространства, где перекрываются два пучка света

=

 

1

 
                  

                    

2

 
I ~  E 2

  (E1

 E2 )2   2

2    2

E1E2

или

I  I1

 I 2

 I12 ,

 

E

 

E

 

+

 
здесь

I1 ,

I 2  – интенсивности первой и второй световых волн. Последнее слагаемое

I12  2

E1E2

, учитывающее взаимодействие световых волн, называется интерфе-

ренционным слагаемым. Угловые скобки означают усреднение за время, много большее периода колебаний.

Если источники первой и второй волны независимы, то волны некогерентные и

I12  0 , а

I  I1  I 2 . Этот результат согласуется с повседневным опытом. Две оди-

наковые лампы светят в два раза сильнее, чем одна. Все естественные источники света некогерентны.

Если световые пучки не независимы, например, один получается отражением

другого, то в некоторых точках пространства

I12  0 (пример – рассмотренные опыты

по  интерференции).  В  одних  точках  пространства

I12  0  и

I  I1  I 2 ,  в  других

I12  0 и

I  I1  I 2 . Это и есть явление  интерференции.

 

Рассмотрим более подробно, что собой представляет интерференционное слагае- мое, определяющее результат интерференции. Когда обе волны монохроматичны, в точке наблюдения будут гармонические колебания

 

E1  E10 sin(ω1t  φ1 ) и

 

E2  E20 sin(ω2t  φ2 ) .

 

Интерференционное слагаемое будет равно

 

I12  2 E10 E20 sin(ω1t  φ1 )  sin(ω2t  φ2 )  

 E10 E20 cos(ω1  ω2 )t  (φ1  φ2 )  cos(ω1  ω2 )t  (φ1  φ2 ).

 

Поскольку среднее суммы равно сумме средних, то

I12  E10 E20

 E10 E20

cos(ω1  ω2 )t  (φ1  φ2 ) 

cos(ω1  ω2 )t  (φ1  φ2 ) .

Заметим, что среднее значение функции типа

cos(Ωt  φ)

будет равно нулю, ес-

ли частота

Ω  0 . Ненулевое среднее значение такой функции может быть только в

случае, если частота колебаний Ω  0 .

Во втором слагаемом выражения для

 

 

I12

 

 

частота

 

Ω  ω1  ω2  0 , поскольку и

ω1  0 , и ω2  0 , поэтому значение этого слагаемого будет нулевым

 

E10 E20

cos(ω1  ω2 )t  (φ1  φ2 )

 

 0 .

 

В  первом  слагаемом,  если

В этом случае

 

ω1  ω2 ,  то  частота  колебаний

 

Ω  ω1  ω2  0 .

 

I12  E10 E20

 

cos(φ1   φ2 ) .

 

При этом, если разность начальных фаз

 

2  1

 

меняется случайным образом с тече-

нием времени, то равно нулю.

cos(φ1  φ2 )

 0 . Тогда интерференционное слагаемое

I12

будет

И только в случае, когда

будет отлично от нуля,

φ1  φ2  const , интерференционное слагаемое

I12

 

I12  E10 E20 cos(φ2   φ1 )  0 .

 

 

Так как  I

 

  E

 

cos(ω t  φ

 

)2

 

 E 2

 

cos2 (ω t  φ )

 

 1 E 2

 

и  I        1 E 2

 

 

, то

1          10        1          1          10

1          1          2          10

2          2          20

интерференционное слагаемое будет равно

 

I12   2           I1

I 2 cos(φ2  φ1 ) .

 

Таким образом, мы выяснили, что интерференционное слагаемое может быть от-

лично от нуля ( I12  0 ) только, когда

ω1  ω2  и

φ2  φ1  const , и мы нашли выра-

жение для интерференционного слагаемого при данных условиях. Необходимые для

интерференции  условия

р е н т н о с т и  в о л н .

ω1  ω2

и  φ2  φ1  const

и  есть  у с л о в и я   к о г е-

 

Пользуясь полученным выражением для интерференционного слагаемого, разбе- ремся с тем, что же будет наблюдаться на экране при интерференции.

В точках, где колебания первой и второй волн будут в фазе (синфазны), то есть,

где

φ2  φ1  0

или

φ2  φ1  2mπ , здесь

m  1,2,... – целое число, значение

cos(φ2   φ1 )  1

ренции)

и интенсивность света будут максимальна (максимумы интерфе-

 

I  I1  I 2  2

I1 

I 2        – усиливающая (конструктивная)

интерференция.

 

Условие

Δφ  2mπ

 

называется  условием максимумов интерференции.

 

В общем случае

 

 

    2 (n L

 

 n L )

 

или Δφ  2π Δ .

2          1                   2   2     1  1      λ

 

Если

 

n1  const

 

и n2  const , то оптическая разность хода находится интегри-

 

рованием

   n2 dl   n1dl . Здесь первый интеграл берется по пути второй волны в

своей среде, а второй – по пути первой волны в своей среде.

 

Условия максимумов и минимумов можно записать для оптической разности хо-

 

да, так как Δφ 

2π Δ , то при

λ

2π Δ  2mπ получаем

λ

 

Δ  mλ  2m λ

2

 

 

– условие максимумов

 

– оптическая разность хода равна целому числу длин волн или четному числу полуволн.

Соответственно,

 

Δ   m  1 λ  (2m  1) λ

 

– условие минимумов

         

         2       2

 

– оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн или нечетному числу полуволн.

 

Почему же мы не наблюдаем интерференции света, например, от двух ламп. Дело в том, что все естественные источники дают некогерентный свет. Более того, абсолют- но когерентных источников не существует. Это идеализация. В реальных случаях более уместно говорить о степени когерентности света.

Для определения степени когерентности рассматривают по отдельности  пр о- с т р а н с т в е н н у ю  к о г е р е н т н о с т ь , для количественного описания которой ис-

пользуют

ρког

– радиус когерентности, и в р е м е н н ỳ ю   к о г е р е н т н о с т ь , для

описания которой используют

когерентности.

τког

– время когерентности и

Lког   cτког

– длину

 

Рассмотрим сначала пространственную когерентность.

Если свет монохроматичен, тогда в идеальном случае точечного источника на экране будет наблюдаться устойчивая интерференционная картина. Увеличение разме- ров источника приводит к ухудшению ее контрастности и к полному исчезновению. Это связано с тем, что максимумы интерференционных картин точечных источников части протяженного источника наложатся на минимумы интерференционных картин точечных источников другой части протяженного источника, и общая интерференци- онная картина исчезнет. Для получения интерференционной картины необходимо, что- бы размер каждого источника не превосходил определенного предела, зависящего от взаимного расположения источников и расстояния между ними, а также положения эк- рана. Источники называются пространственно когерентными, если их размеры и по- ложения позволяют наблюдать интерференцию.

 

Если волны от крайних точек  S  и  S  протя-

женного источника выходят симметрично для неко-

S       торой точки экрана P , и α – угловой размер источ-

         ника, то условие хорошей контрастности для этого источника будет иметь вид

P

S          l sin α  λ , или l      λ          .

2          2          2 sin α

2

 

Под р а д и у с о м   к о г е р е н т н о с т и   понимают минимальное расстояние ме- жду двумя точками протяженного источника, расположенными на плоскости, пер- пендикулярной к направлению распространения волны, при котором интерференцион- ная картина от световых волн, излучаемых этими точечными источниками, исчезает. Для источника, размеры которого равны радиусу когерентности, интерференцион- ные картины от двух половин источника, накладываясь, дают равномерную освещен- ность экрана.

Радиус когерентности определяется из условия исчезновения интерференционной

картины при

l  ρког . Тогда радиус когерентности можно выразить через угловой раз-

λ          α          α

мер источника ρ ког 

. При малых углах

sin                 , следовательно,

2 sin α

2

2          2

 

ρ           λ .

ког       α

 

Радиус когерентности обратно пропорционален угловому размеру источника из точки наблюдения, чем меньше α , тем больше радиус когерентности.

Для строго плоских идеальных волн (излучаемых бесконечно удаленным источ-

ником) все направления  лучей  параллельны,

λ

α  0 ,  и  они  пространственно  абсо-

лютно когерентны

ρког

 α   . Для реальных источников (не бесконечно удален-

ных) пространственная когерентность повышается (растет

ρког ) по мере удаления от

источника. Например, свет звезд обладает высокой степенью когерентности. Высокой пространственной когерентностью обладает излучение лазеров, световые лучи которых характеризуются высокой направленностью.

 

В классическом  опыте Юнга (T. Young, 1773–1829) источником света S служи-

 

ла освещенная узкая щель угловым размером

  5 104 рад . За щелью  S  на рас-

стоянии d  друг от друга были расположены две щели  S1  и

λ

S2 . Для наблюдения ин-

терференции должно выполняться условие

d  ρког 

. Чтобы выполнить это усло-

α

вие для средней длины волны излучения

7

  550 нм, Юнг расположил щели

S1 и S2

 

на расстоянии

d    5,5 10

 

 1 мм , и ему удалось наблюдать интерференцион-

 

 

ную картину.

         5 10 4

 

 

При

 

d  λ α

 

 

интерференционная картина пропадает. Опыт, аналогичный опыту

Юнга, за 150 лет до него был осуществлен в 1665 году Франческо Гримальди (F. Gri- maldi, 1618–1683). В опыте Гримальди первой щели S не было, и свет падал прямо от Солнца. Угловой размер Солнца   30  0,0087 рад , тогда для получения интерфе-

ренционной картины было необходимо, чтобы щели

S1  и  S2

находились на расстоя-

 

нии

d    6 104 нм  0,06 мм . Это условие в опыте Гримальди не было выполне-

но, и интерференционную картину Гримальди получить не удалось.