Название: Курс лекций по физике Ч.2 (Климовский А.Б.)

Жанр: Заочно-вечерний

Просмотров: 1426


Рассмотрим классификацию волн, исходя из определения волны.

 

  По характеру периодического процесса волны бывают с к а л я р н ы е , когда невозможно указать пространственное направление колебаний (волна температуры) и в е к т о р н ы е , когда колебания происходят в определенном направлении (колебание частиц воздуха в звуковой волне). При этом сам колеблющийся параметр также может быть скалярным (давление в звуковой волне) или векторным (напряженность элек- трического поля в электромагнитной волне).

 

  По частотным характеристикам волны делятся на две группы:

            м о н о х р о м а т и ч е с к и е          в о л н ы  –  распространяется  гармоническое колебание с частотой ω ;

            н е м о н о х р о м а т и ч е с к и е  в о л н ы  – одновременно распространяют- ся различные колебания с разными частотами.

 

  По природе волны делятся на:

            м е х а н и ч е с к и е  – распространение упругих (механических) колебаний вещества (например, звук).

            э л е к т р о м а г н и т н ы е   –   распространение колебаний электромагнит- ного поля (например, свет).

 

  В зависимости от направления колебаний волны делятся на два типа:

            п р о д о л ь н ы е      в о л н ы         –  колебания  происходят  вдоль  направления распространения волны (например, звук);

 

направление распространения волны направление колебаний

            п о п е р е ч н ы е  в о л н ы  – колебания происходят перпендикулярно рас- пространению волны, такая волна называется (например, электромагнит- ные волны).

 

направление распространения волны

 

направление колебаний

 

  Среди волн по форме волнового фронта выделяют:

            с ф е р и ч е с к и е  в о л н ы – волновой фронт является сферой. Например, излучение точечного источника в однородной изотропной среде.

 

Волновой фронт

 

            п л о с к и е  в о л н ы – волновой фронт является плоскостью.

Волновой фронт

Направление

распространения волны

 

Волновые процессы описываются  волновым уравнением, решением которого они являются.

Вспомним колебания. Уравнение свободных гармонических колебаний имеет вид

2

d  x  ω2 x  0 .

dt 2      0

Его  решением является  функция,  описывающая  гармонический  колебательный

процесс

x(t)  x0 cos(ω0t  φ) .

 

В о л н о в о е  у р а в н е н и е  имеет несколько похожий вид, оно представляет со- бой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных

 

2

 
 ξ  V 2Δξ  0

 

 

или

 

 

Δξ 

 

1   2ξ

.

t 2

V 2  t 2

 

Здесь греческой буквой ξ («кси») обозначен колеблющийся параметр, Δ – дифферен- циальный оператор Лапласа (P. Laplace, 1749–1827), для которого используется гре-

ческая  буква  «дельта»  Δ  (не  путать  с  приращением).  Поскольку

ξ(r,t)

является

функцией нескольких переменных, уравнение записывается не в полных производных, как для колебаний, а в частных производных.

Используемый дифференциальный оператор Лапласа можно представить через

 

другой дифференциальный оператор

Δ  2 . Дифференциальный оператор   («на-

бла») определяется в декартовой системе координат как формальный вектор с проек-

 

циями

      

,

 

 

,

 

 

или

    

      

+

 

+

 
j           k

, тогда его действие на скалярную

 x  y

z 

dx        y       z

i

 
функцию  можно записать

φ  φ   φ   φ  , тогда Δφ  2φ  

 

 

2

 
φ  

 

 

2

 

2

 
φ   φ ,

 

 

    

dx i

y j

z k

 

x 2

 

y 2

 

z 2

где

i , j , k

– орты декартовой системы координат. Оператор  ставит в соответствие

произвольной скалярной функции φ векторную функцию с проекциями на оси декар-

 

товой системы координат

φ ,

x

φ , φ           .

y       z

В          развернутом   виде    в          декартовой     системе           координат,     учитывая,       что

 2ξ

Δξ 

x 2

образом:

 2ξ

y 2

 2ξ

            , трехмерное волновое уравнение записывается следующим

z 2

 

 2ξ

x 2

 2ξ

y 2

 2ξ    1

            

z 2     V 2

 2ξ

.

t 2