Название: Вычислительная техника (Захаров Н. Г.)

Жанр: Энергетический

Просмотров: 1545


1.2. двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

 

Примеры  изображения  чисел в  данных  системах  счисления  представлены  в табл. 1.2.

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи ис- пользуется в основном двоичная система счисления, что обусловлено рядом преиму- ществ данной системы счисления перед другими системами. Так, для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски), отверстие есть или отсутствует (перфолента и перфокарта). Этот метод обеспечивает более надежное и помехоустойчивое представление информации, дает возможность применения аппа- рата  булевой  алгебры  для  выполнения  логических  преобразований  информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.

Таблица 1.2

 

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

0

00000

0

0

1

00001

1

1

2

00010

2

2

3

00011

3

3

4

00100

4

4

5

00101

5

5

6

00110

6

6

7

00111

7

7

8

01000

10

8

9

01001

11

9

10

01010

12

А

11

01011

13

В

12

01100

14

С

13

01101

15

D

14

01110

16

Е

15

01111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

18

10010

22

12

19

10011

23

13

20

10100

24

14

 

 

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток не имеет существенного значения для ЭВМ. Если же возникает необходимость кодировать информацию, «вручную», на- пример при составлении программы на машинном языке, то используют восьмерич- ную или шестнадцатеричную системы счисления. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в 3 (восьмеричная) и в 4 (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (числа 8 и 16 — соответственно 3-я и 4-я степени числа 2), а перевод их в двоичную систему счисле- ния и обратно осуществляется гораздо проще в сравнении с десятичной системой счисления.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

 

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами зада-

 

ются таблицей сложения, вычитания и умножения (табл. 1.3).

 

Таблица 1.3

 

Сложение

Вычитание

Умножение

0 + 0 = 0

0 – 0 = 0

0  0 = 0

0 + 1 = 1

1 – 0 = 1

0  1 = 0

1 + 0 = 1

1 – 1 = 0

1  0 = 0

1 + 1 = 10

10 – 1 = 1

1  1 = 1

 

Единица – перенос в старший разряд

 

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны. В двоичной системе счисления арифметическое сложение происходит по правилу сложения по модулю два с учетом переноса единицы в старший разряд.

Пример. Выполнить операцию арифметического сложения в двоичной системе счисления чисел 13 и 7.

1310   = 11012            710    = 01112

 

Решение:

 

+          13

 

+  01101

            7          00111

20 10   10100 2

 

При сложении двух единиц результат операции равен нулю и единица перено-

 

сится в соседний разряд.

 

4   3   2 1   0

1 0 1 0 0 2 = 1  2 4 + 0  2 3 + 1  2 2 + 0  2 1 + 0  2 0  = 20 10.

 

Пример. Выполнить операцию арифметического вычитания в двоичной систе-

 

ме счисления чисел 12 и 7.

 

 

Решение:

 

–          12

1 11

– 1 1 0 0

  7        0 1 1 1

5 10     0 1 0 1 2

При вычитании из нулевого разряда в данном разряде образуются две единицы,

 

а в соседних нулевых разрядах возникает единица.

 

3  2   1  0

0 1 0 1 2 = 0  2 3 + 1  2 2 + 0  2 1 + 1  2 0  = 5 10.

Таблицы сложения для восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

 

представлены на рис. 1.1 и 1.2.

 

 

+

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

3

4

5

6

7

10

2

2

3

4

5

6

7

10

11

3

3

4

5

6

7

10

11

12

4

4

5

6

7

10

11

12

13

5

5

6

7

10

11

12

13

14

6

6

7

10

11

12

13

14

15

7

7

10

11

12

13

14

15

16

 

 

Рис. 1.1. Таблица сложения для восьмеричной систем счисления

 

 

+

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

В

С

D

Е

F

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

В

С

D

Е

F

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

В

С

D

Е

F

10

2

2

3

4

5

6

7

8

9

А

В

С

D