Название: Вычислительная техника (Захаров Н. Г.)

Жанр: Энергетический

Просмотров: 1545


1.1. системы счисления

 

Система счисления — совокупность приемов и правил наименования и обозна- чения чисел, позволяющих установить взаимно однозначное соответствие между лю- бым числом и его представлением в виде конечного числа символов.

В любой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой сово- купность некоторых символов (букв или цифр), с помощью которого в результате ка- ких-либо операций можно представить любое их количество. Изображение любого количества символов называется числом, а символы алфавита — буквами и цифрами. Символы алфавита должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.

В современном мире наиболее распространенной является десятичная система счисления, происхождение которой связано с пальцевым счетом. Она возникла в Ин- дии и в XIII в. была перенесена в Европу арабами. Поэтому десятичную систему счисления стали называть арабской, а используемые для записи чисел цифры, кото- рыми мы теперь пользуемся, — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — арабскими.

С давних времен для подсчетов и вычислений применялись различные системы счисления. Например, на Древнем Востоке довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году — двенадцать. Эта система счисления со- хранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймов) и в денежной системе (1 шиллинг =12 пенсов). В Древнем Вавилоне существовала весьма сложная

60-ричная система. Она, как и 12-ричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с, аналогично в системе измерения углов: 1 = 60, 1 = 60).

Первые цифры (знаки для обозначения чисел) появились у египтян и вавилон-

 

цев. У ряда народов (древние греки, сирийцы, финикийцы) цифрами служили буквы

алфавита. Аналогичная система до XVI в. применялась и в России. В Средние века в Европе пользовались системой римских цифр, которые и сейчас часто применяют для обозначения глав, частей, разделов в различного рода документах, книгах, для обо- значения месяцев и т. д.

Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.

 

Непозиционная система счисления — система, в которой символы, обозна- чающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от место- положения (позиции) в изображении числа.

Запись числа А в непозиционной системе счисления D может быть представле-

 

на выражением

 

N

AD = D1 + D2 + … DN =  D i ,

i 1

 

где AD — запись числа А в системе счисления D; Di — символы системы.

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо запи- сать количество палочек, равное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: IIIIIIIIIIII. Эта система неэффективна, так как форма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится и римская, символы алфавита

 

которой и обозначаемое ими количество представлены в табл. 1.1.

 

Таблица 1.1

 

 

Римские цифры

I

V

X

L

С

D

М

Значение (обозначаемое количество)

1

5

10

50

100

500

1000

 

 

Запись чисел в этой системе осуществляется по следующим правилам:

 

1) если цифра слева меньше, чем справа, то левая цифра вычитается из правой

 

(IV: 1 < 5, следовательно, 5 – 1 = 4, XL: 10 < 50, следовательно, 50 – 10 = 40);

 

2) если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эта цифры складыва-

 

ются (VI: 5 + 1 = 6, VIII: 5 + 1 + 1 + 1 = 8, XX: 10 + 10 = 20).

Так, число 1964 в римской системе счисления имеет вид MCMLXIV (М – 1000,

 

СМ – 900, LX – 60, IV – 4), здесь «девятьсот» получается посредством вычитания из

 

«тысячи» числа «сто», «шестьдесят» — посредством сложения «пятидесяти» и «деся-

 

ти», «четыре» — посредством вычитания из «пяти» «единицы».

 

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложны- ми  способами  записи  чисел  и  правилами  выполнения  арифметических  операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.

 

Позиционные системы счисления

 

Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположе-

 

нием (позицией) в изображении числа, называют позиционной.

 

Упорядоченный набор символов (букв и цифр) {а0, a1, ... , аn}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, назы- вают ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита p = n + 1 — ее основанием, а са- му систему счисления называют р-ричной.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр,

 

используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

 

Самой   привычной   для   нас   является   десятичная   система   счисления.   Ее алфавит — {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для запи- си любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Эти цифры вве- дены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа, начиная с 10 и т. д., обозначаются уже без использования новых цифр.  Деся- тичная система счисления основана на том, что 10 единиц каждого разряда объеди- няются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10. На- пример, в изображении числа 222,22 цифра 2 повторяется 5 раз, при этом первая сле-

ва цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 102); вторая — количество десят-

 

ков (ее вес равен 10), третья — количество единиц (ее вес равен 100), четвертая — ко- личество десятых долей единицы (ее вес равен 10-1) и пятая цифра — количество со- тых долей единицы (ее вес равен 10-2), т. е. число 222,22 может быть разложено по степеням числа 10:

222,22 = 2  102 + 2  101 + 2  100 + 2  10-1 + 2  10-2.

 

Аналогично

 

725 = 7  102 + 2  101 + 5  100;

 

1304,5 = 1  103 + 3  102 + 0  101 + 4  100 + 5  10-1;

 

50328,15 = 5  104 + 0  103 + 3  102 + 2  101 + 8  100 + 1  10-1 + 5  10-2.

 

Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путем раз-

 

ложения его по степеням числа 10:

 

A10 = аn  10n + аn-1  10n-1 + ... + а1  101 + а0  100 + a-1  10-1 + ... + а–m10-m +...,

 

последовательность из коэффициентов которого представляет собой десятичную за-

 

пись числа А10:

 

A10 = аn аn-1 ... а1 а0 , a–1 ... a –m …

 

Запятая, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации кон- кретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является нача- лом отсчета.